1. \int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2} z+y^{2} z+z^{3}\right) d z d x d y,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-a}^{a}\!\int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\!\int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}\bigl(x^{2}z + y^{2}z + z^{3}\bigr)\,dz\,dx\,dy.
Note que a região de integração é a bola de raio a centrada na origem. Vamos usar o conceito de paridade em z.

Passo 2

Escrevendo o integrando em função de r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, temos
x^{2}z + y^{2}z + z^{3} = z\,(x^{2}+y^{2}+z^{2}) = z\,r^{2}.
Para cada ponto (x,y,z) existe o ponto (x,y,-z) na mesma bola, e
f(x,y,-z)=(-z)\,r^{2}=-\,\bigl(z\,r^{2}\bigr)=-f(x,y,z),
ou seja, o integrando é uma função ímpar em z enquanto a região é simétrica em torno do plano z=0.

Passo 3

Pelo princípio de paridade, as contribuições de z e -z se cancelam, logo a integral vale 0.

Resposta

0

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