1. \iiint_{B} \cos (x y z) d V, onde
B=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I = \iiint_{B} \cos(xyz)\,dV,
onde
B = \{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\}.
O método mais direto é usar o Teorema de Fubini e integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Escolhemos integrar primeiro em z. Para cada par (x,y) fixo,
\int_{0}^{1}\cos(xyz)\,dz
é uma integral do tipo \int\cos(a z)\,dz com a=xy. Logo,
\int_{0}^{1}\cos(xyz)\,dz =\frac{1}{xy}\,\Bigl[\sin(xyz)\Bigr]_{z=0}^{z=1} =\frac{\sin(xy)}{xy}.
Portanto a integral tripla vira
I=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\frac{\sin(xy)}{xy}\,dy\,dx.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{1}\frac{\sin(xy)}{xy}\,dy =\frac{1}{x}\int_{0}^{1}\frac{\sin(xy)}{y}\,dy.
Reconhecemos aí a definição da função integral seno,
\Si(t)=\int_{0}^{t}\frac{\sin u}{u}\,du.
Fazendo a troca de variável u=xy, quando y vai de 0 a 1, u vai de 0 a x, e obtemos
\int_{0}^{1}\frac{\sin(xy)}{y}\,dy=\Si(x).
Logo
\int_{0}^{1}\frac{\sin(xy)}{xy}\,dy=\frac{\Si(x)}{x},
e a integral reduz-se a
I=\int_{0}^{1}\frac{\Si(x)}{x}\,dx.

Passo 4

Concluímos que
I=\int_{0}^{1}\frac{\Si(x)}{x}\,dx,
que não admite forma elementar mais simples. Em alternativa, pode-se usar a expansão em série de \cos(xyz) e trocar soma e integrais para achar
I=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!\,(2k+1)^3}.

Resposta

\boxed{\,\displaystyle \iiint_{B}\cos(xyz)\,dV =\int_{0}^{1}\frac{\Si(x)}{x}\,dx =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!\,(2k+1)^3}\,.}

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