21-24 Uma lâmina com densidade constante \rho(x, y)=\rho ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I_{x} e I_{y} e os raios de giração \overline{\bar{x}} e \overline{\bar{y}}.
21. O retângulo 0 \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant h
22. O triângulo com vértices (0,0),(b, 0) e (0, h)
23. A parte do disco x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2} no primeiro quadrante

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia
I_x = \int y^2\,dm, \quad I_y = \int x^2\,dm
e os raios de giração
\overline{\bar x} = \sqrt{\frac{I_x}{m}}, \quad \overline{\bar y} = \sqrt{\frac{I_y}{m}}
para lâminas de densidade uniforme \rho ocupando três regiões:
21. retângulo 0\le x\le b,\;0\le y\le h
22. triângulo de vértices (0,0),(b,0),(0,h)
23. disco x^2+y^2\le a^2 no 1.º quadrante.
Vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas ou polares conforme a região.

Passo 2

Retângulo 0\le x\le b,\;0\le y\le h:
massa
m = \rho\int_0^b\int_0^h dy\,dx = \rho b h.
Momento em relação ao eixo x:
I_x = \rho\int_0^b\int_0^h y^2\,dy\,dx = \rho b \,\frac{h^3}{3} = \frac{\rho b h^3}{3}.
Momento em relação ao eixo y:
I_y = \rho\int_0^b\int_0^h x^2\,dy\,dx = \rho h \,\frac{b^3}{3} = \frac{\rho b^3 h}{3}.
Raios de giração:
\overline{\bar x} = \sqrt{\frac{I_x}{m}} = \sqrt{\frac{\rho b h^3/3}{\rho b h}} = \frac{h}{\sqrt{3}}, \quad \overline{\bar y} = \sqrt{\frac{I_y}{m}} = \frac{b}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Triângulo com vértices (0,0),(b,0),(0,h):
a reta superior é y = h\bigl(1 - x/b\bigr).
massa
m = \rho\int_0^b\int_0^{h(1-x/b)} dy\,dx = \rho\frac{b h}{2}.
Momento I_x:
I_x = \rho\int_0^b\int_0^{h(1-x/b)} y^2\,dy\,dx = \rho\int_0^b\frac{[h(1-x/b)]^3}{3}\,dx = \frac{\rho b h^3}{12}.
Momento I_y:
I_y = \rho\int_0^b\int_0^{h(1-x/b)} x^2\,dy\,dx = \rho h\int_0^b x^2\Bigl(1-\frac{x}{b}\Bigr)\,dx = \frac{\rho b^3 h}{12}.
Raios de giração:
\overline{\bar x} = \sqrt{\frac{I_x}{m}} = \sqrt{\frac{\rho b h^3/12}{\rho b h/2}} = \frac{h}{\sqrt{6}}, \quad \overline{\bar y} = \frac{b}{\sqrt{6}}.

Passo 4

Quarter de disco x^2+y^2\le a^2 no 1.º quadrante (usar polares):
m = \rho\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{a}r\,dr\,d\theta = \rho\frac{\pi a^2}{4}.
Momento I_x y=r\sin\theta:
I_x = \rho\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{a}(r\sin\theta)^2\,r\,dr\,d\theta = \rho\frac{a^4}{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta = \frac{\rho\pi a^4}{16}.
Por simetria I_y=I_x.
Raios de giração:
\overline{\bar x} = \overline{\bar y} = \sqrt{\frac{I_x}{m}} = \sqrt{\frac{\rho\pi a^4/16}{\rho\pi a^2/4}} = \frac{a}{2}.

Resposta

  1. Retângulo
m=\rho b h,\quad I_x=\frac{\rho b h^3}{3},\; I_y=\frac{\rho b^3 h}{3},\; \overline{\bar x}=\frac{h}{\sqrt{3}},\; \overline{\bar y}=\frac{b}{\sqrt{3}}.
  1. Triângulo
m=\frac{\rho b h}{2},\; I_x=\frac{\rho b h^3}{12},\; I_y=\frac{\rho b^3 h}{12},\; \overline{\bar x}=\frac{h}{\sqrt{6}},\; \overline{\bar y}=\frac{b}{\sqrt{6}}.
  1. Quarter de disco
m=\frac{\rho\pi a^2}{4},\; I_x=I_y=\frac{\rho\pi a^4}{16},\; \overline{\bar x}=\overline{\bar y}=\frac{a}{2}.

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