21-24 Uma lâmina com densidade constante \rho(x, y)=\rho ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I_{x} e I_{y} e os raios de giração \overline{\bar{x}} e \overline{\bar{y}}.
21. O retângulo 0 \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant h
22. O triângulo com vértices (0,0),(b, 0) e (0, h)
23. A parte do disco x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2} no primeiro quadrante
para lâminas de densidade uniforme \rho ocupando três regiões:
21. retângulo 0\le x\le b,\;0\le y\le h
22. triângulo de vértices (0,0),(b,0),(0,h)
23. disco x^2+y^2\le a^2 no 1.º quadrante.
Vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas ou polares conforme a região.
Passo 2
Retângulo 0\le x\le b,\;0\le y\le h:
massa
m = \rho\int_0^b\int_0^h dy\,dx = \rho b h.
Momento em relação ao eixo x:
I_x = \rho\int_0^b\int_0^h y^2\,dy\,dx = \rho b \,\frac{h^3}{3} = \frac{\rho b h^3}{3}.