Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a integrar é a raiz cúbica de , que podemos reescrever como uma potência:
.
Portanto o problema é encontrar uma primitiva (antiderivada) de .
Informações dadas: a função a integrar é a raiz cúbica de
Portanto o problema é encontrar uma primitiva (antiderivada) de
Passo 2
Reescrever a integral em forma de potência facilita o uso da regra padrão. Escrevemos a integral como
Aqui a variável de integração é
e o expoente da potência é
.
Passo 3
Vou lembrar e explicar a regra das potências para integrais, que é a ferramenta principal aqui.
Regra das potências (para integrais): se
, então
onde
é a constante de integração.
Por que essa fórmula vale? Porque a derivada de é
Por que essa fórmula vale? Porque a derivada de
usando a regra da potência para derivadas
. Assim a expressão escrita é realmente uma primitiva de
.
Passo 4
Aplicamos a regra com
. Calculamos primeiro
:
Pela fórmula,
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, logo
Passo 5
Verificação rápida por derivação (para ter certeza): calcule a derivada de
:
que é justamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 6
(Atalho alternativo / exercício) Outra forma — por substituição — confirma o resultado: faça
, então
e
. A integral vira
Mesmo resultado — legal para praticar substituição.