\int \sqrt[3]{x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \int \sqrt[3]{x}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas: a função a integrar é a raiz cúbica de x, que podemos reescrever como uma potência: \sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Portanto o problema é encontrar uma primitiva (antiderivada) de \;x^{1/3}.

Passo 2

Reescrever a integral em forma de potência facilita o uso da regra padrão. Escrevemos a integral como
\int x^{1/3}\,\mathrm{d}x.
Aqui a variável de integração é x e o expoente da potência é n=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Vou lembrar e explicar a regra das potências para integrais, que é a ferramenta principal aqui.
Regra das potências (para integrais): se n\neq -1, então
\int x^{n}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
Por que essa fórmula vale? Porque a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{n+1}{n+1}\,x^{(n+1)-1}=x^{n},
usando a regra da potência para derivadas \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{k}=k x^{k-1}. Assim a expressão escrita é realmente uma primitiva de x^{n}.

Passo 4

Aplicamos a regra com n=\tfrac{1}{3}. Calculamos primeiro n+1:
n+1 = \frac{1}{3}+1=\frac{1}{3}+\frac{3}{3}=\frac{4}{3}.
Pela fórmula,
\int x^{1/3}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C.
Dividir por \tfrac{4}{3} é o mesmo que multiplicar por \tfrac{3}{4}, logo
\int x^{1/3}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{4}\,x^{4/3} + C.

Passo 5

Verificação rápida por derivação (para ter certeza): calcule a derivada de \dfrac{3}{4}x^{4/3}:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{3}{4}x^{4/3}\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\,x^{4/3-1}=x^{1/3},
que é justamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 6

(Atalho alternativo / exercício) Outra forma — por substituição — confirma o resultado: faça u=x^{1/3}, então x=u^{3} e \mathrm{d}x=3u^{2}\,\mathrm{d}u. A integral vira
\int u\cdot 3u^{2}\,\mathrm{d}u=3\int u^{3}\,\mathrm{d}u=3\cdot\frac{u^{4}}{4}+C=\frac{3}{4}u^{4}+C=\frac{3}{4}x^{4/3}+C.
Mesmo resultado — legal para praticar substituição.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}x^{4/3}+C

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