Utilizando o Teorema do Confronto, calcule.
i) Seja f uma função e suponha que para todo x
|f(x)| \leqslant x^{2}
a) Calcule, caso exista
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)
b) f é contínua em 0 ? Por quê?
ii) Sejam f e g duas funções com mesmo domínio A tais que \lim _{-} f(x)=\underset{x \rightarrow p}{0 \mathrm{e}} |g(x)| \leqslant M para todo x em A, onde M>0 é um número real fixo. Prove que
\lim _{x \rightarrow p} f(x) g(x)=0
iii) Calcule \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot g(x) onde g(x)=\left\{\begin{array}{cl}1 & \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ -1 & \text { se } x \notin \mathbb{Q}\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado tem três itens; vou listar claramente o que cada um pede e as informações dadas.
i) Foi dada uma função f\) tal que, para todo \(x\),
\[|f(x)| \leqslant x^{2}.
a) Pedem para calcular, se existir, \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x).
b) Perguntam se f é contínua em 0 e justificar por quê.
ii) Foram dadas duas funções f e g com mesmo domínio A e um ponto p\in A com as hipóteses:
\lim_{x\to p} f(x)=0 \quad\text{e}\quad |g(x)| \leqslant M \text{ para todo } x\in A,
e pedem para calcular (\displaystyle \lim_{x\to 0} x^{2}\cdot g(x)].]
Passo 2
Vou lembrar e explicar o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem), porque ele será o principal instrumento aqui.
Enunciado do Teorema do Confronto: suponha que existam três funções h(x), f(x) e k(x) definidas num vizinho de a (exceto possivelmente em a mesmo) tais que, para todo x próximo de a,
O que isso significa em palavras simples: se f(x) fica “apertada” entre duas funções que têm o mesmo limite L quando x se aproxima de a, então f também tem que tender para L. Intuição: imagine que h e k formam um corredor que vai se fechando em torno de L; qualquer função no corredor é obrigada a ir para L.
Pequeno exemplo didático: se sabemos que -x^2 \le \sin(x)\cdot x \le x^2 e que \lim_{x\to 0} -x^2 = \lim_{x\to 0} x^2 = 0, então pelo Teorema do Confronto \lim_{x\to 0} \sin(x)\cdot x = 0.
Vou usar essa ferramenta passo a passo nos itens.
Passo 3
Resolução do item i) parte (a): calcular \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) sabendo que |f(x)|\le x^{2} para todo x.
Primeiro transformação útil: a desigualdade em valor absoluto dá imediatamente
-x^{2} \le f(x) \le x^{2}
para todo x. (Explicando: |f(x)|\le x^2 é a mesma coisa que -x^2\le f(x)\le x^2.)
Agora observe que as funções h(x)=-x^{2} e k(x)=x^{2} têm limite \;0\; quando x\to 0, pois
(Se tiver dúvida: x^2 tende a 0 quando x\to 0 porque x^2 é contínua e x^2(0)=0; aqui não precisamos de cálculo complicado.)
Pelo Teorema do Confronto, tendo -x^{2}\le f(x)\le x^{2} e ambos os extremos tendendo a 0, segue que
\lim_{x\to 0} f(x)=0.
Passo 4
Resolução do item i) parte (b): f é contínua em 0 ?
Definição prática: f é contínua em 0 se e somente se \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Já provamos no passo anterior que \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=0. Agora precisamos comparar com f(0). Use a hipótese original para x=0: como |f(x)|\le x^{2} vale para todo x, vale também em x=0. Então
|f(0)| \le 0^{2}=0.
A única maneira de um número ter valor absoluto menor ou igual a 0 é ser 0; logo f(0)=0.
Portanto \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0), o que mostra que f é contínua em 0.
Passo 5
Resolução do item ii): provar que se \displaystyle \lim_{x\to p} f(x)=0 e |g(x)|\le M para todo x (com M>0 fixo), então \displaystyle \lim_{x\to p} f(x)g(x)=0.
Estratégia: controlar o produto usando o valor absoluto e aplicar o Teorema do Confronto (ou a versão com desigualdade absoluta).
Mais simples de usar: como M\,|f(x)|\ge 0, podemos aplicar o Teorema do Confronto às funções -M\,|f(x)|, f(x)g(x) e M\,|f(x)|. Agora note que, pela hipótese \lim_{x\to p} f(x)=0, segue que \lim_{x\to p} |f(x)|=0 (o valor absoluto preserva o limite). Então
\lim_{x\to p} M\,|f(x)| = M\cdot 0 = 0
e também \lim_{x\to p} -M\,|f(x)|=0.
Pelo Teorema do Confronto, com
-M\,|f(x)| \le f(x)g(x) \le M\,|f(x)|,
e ambos os extremos tendendo a 0, concluímos que
\lim_{x\to p} f(x)g(x)=0.
Observação alternativa (ε–δ): se preferir ver na forma clássica de definição: dado \varepsilon>0, pela hipótese sobre f existe \delta tal que |f(x)|<\varepsilon/M quando 0<|x-p|<\delta; então |f(x)g(x)|\le M|f(x)|<M(\varepsilon/M)=\varepsilon. Isso dá a prova ε–δ direta.
Primeiro observe que para todo x\] temos \(|g(x)|=1. Então, para todo x,
|x^{2}g(x)| = x^{2}\,|g(x)| = x^{2}.
Isto implica a desigualdade
-x^{2} \le x^{2}g(x) \le x^{2}
para todo x. Mas já sabemos que \lim_{x\to 0} -x^{2} = \lim_{x\to 0} x^{2} = 0. Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to 0} x^{2}g(x)=0.
Intuição: embora g oscile fortemente entre 1 e -1 (é a função de Dirichlet modificada), essa oscilação é multiplicada por x^{2}, que vai a zero rapidamente; portanto o produto vai a zero.]
Resposta
i a) \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=0
i b) Sim. f é contínua em 0 porque \lim_{x\to 0} f(x)=0 e, pela desigualdade em x=0, f(0)=0.
ii) \displaystyle \lim_{x\to p} f(x)g(x)=0
iii) \displaystyle \lim_{x\to 0} x^{2}g(x)=0