Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
(termo polinomial) por (função trigonométrica). - Queremos uma antiderivada (mais uma constante arbitrária).
Passo 2
Qual método usar? Quando temos um produto de uma função polinomial (aqui
) por uma função trigonométrica, o método mais direto e eficiente é a integração por partes. Isso porque derivar a parte polinomial simplifica a expressão, enquanto integrar a parte trigonométrica é simples. Então usaremos integração por partes.
Passo 3
Recordando a fórmula de integração por partes:
onde
e
são escolhas que fazemos a partir do integrando;
é a derivada de
multiplicada por
e
é uma antiderivada de
.
Escolhemos:
porque ao derivar
obtemos algo mais simples e
é fácil de integrar.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando
:
Integrando
: para integrar
usa-se a regra da cadeia inversa; se
. Aqui
. Portanto
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Escrevendo de forma mais limpa:
Passo 6
Calcular a integral restante
.
Usando a regra da cadeia:
pois a derivada de
é
.
Substituindo na expressão do Passo 5:
Passo 7
Simplificando:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Verificação rápida (derivando a antiderivada para conferir que volta ao integrando):
Se definirmos
então, usando regra do produto e regra da cadeia,
Os termos com
cancelam:
restando
que é exatamente o integrando. Verificação OK.