\int \theta \cos \pi \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\int \theta \cos \pi \theta \, d\theta.
Informações dadas:
  • A variável de integração é \theta.
  • O integrando é o produto de \theta (termo polinomial) por \cos\bigl(\pi\theta\bigr) (função trigonométrica).
  • Queremos uma antiderivada (mais uma constante arbitrária).

Passo 2

Qual método usar? Quando temos um produto de uma função polinomial (aqui \theta) por uma função trigonométrica, o método mais direto e eficiente é a integração por partes. Isso porque derivar a parte polinomial simplifica a expressão, enquanto integrar a parte trigonométrica é simples. Então usaremos integração por partes.

Passo 3

Recordando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas que fazemos a partir do integrando; du é a derivada de u multiplicada por d\theta e v é uma antiderivada de dv.
Escolhemos:
u = \theta,\qquad dv = \cos\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta,
porque ao derivar u obtemos algo mais simples e dv é fácil de integrar.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivando u:
du = d\theta.
Integrando dv: para integrar \cos\bigl(\pi\theta\bigr) usa-se a regra da cadeia inversa; se \int \cos(a\theta)\,d\theta = \dfrac{1}{a}\sin(a\theta). Aqui a=\pi. Portanto
v = \int \cos\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta = \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr).

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \theta \cos\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta = u v - \int v\,du = \theta\cdot\frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr) - \int \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta.
Escrevendo de forma mais limpa:
\int \theta \cos\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta = \frac{\theta}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr) - \frac{1}{\pi}\int \sin\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral restante \displaystyle \int \sin\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta.
Usando a regra da cadeia:
\int \sin\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta = -\frac{1}{\pi}\cos\bigl(\pi\theta\bigr),
pois a derivada de \cos\bigl(\pi\theta\bigr) é -\pi\sin\bigl(\pi\theta\bigr).
Substituindo na expressão do Passo 5:
\int \theta \cos\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta = \frac{\theta}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr) - \frac{1}{\pi}\left(-\frac{1}{\pi}\cos\bigl(\pi\theta\bigr)\right).

Passo 7

Simplificando:
\int \theta \cos\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta = \frac{\theta}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr) + \frac{1}{\pi^{2}}\cos\bigl(\pi\theta\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Verificação rápida (derivando a antiderivada para conferir que volta ao integrando):
Se definirmos
F(\theta)=\frac{\theta}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr)+\frac{1}{\pi^{2}}\cos\bigl(\pi\theta\bigr),
então, usando regra do produto e regra da cadeia,
F'(\theta)=\frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr)+\frac{\theta}{\pi}\cdot\pi\cos\bigl(\pi\theta\bigr) +\frac{1}{\pi^{2}}\cdot\bigl(-\pi\sin\bigl(\pi\theta\bigr)\bigr).
Os termos com \sin\bigl(\pi\theta\bigr) cancelam:
\frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr)-\frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr)=0,
restando
F'(\theta)=\theta\cos\bigl(\pi\theta\bigr),
que é exatamente o integrando. Verificação OK.

Resposta

\frac{\theta}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr)+\frac{1}{\pi^{2}}\cos\bigl(\pi\theta\bigr)+C

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