1. \int e^{a u} \cos b u d u=\frac{e^{a u}}{a^{2}+b^{2}}(a \cos b u+b \sin b u)+C

Passo 1

O problema pede para encontrarmos a integral indefinida
I = \int e^{a u}\cos(bu)\,du.
O conteúdo aqui é integração por partes, pois envolve o produto de uma exponencial e uma função trigonométrica. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
duas vezes e depois resolver uma equação para I.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{a u}\cos(bu)\,du
e aplicamos integração por partes com \displaystyle u = e^{a u}, dv = \cos(bu)\,du.
Então \,du = a e^{a u}\,du e \,v = \frac{1}{b}\sin(bu).
Fica
I = e^{a u}\,\frac{\sin(bu)}{b} \;-\;\int \frac{a\,e^{a u}}{b}\sin(bu)\,du =\frac{e^{a u}}{b}\sin(bu)\;-\;\frac{a}{b}\,J,
onde definimos
J = \int e^{a u}\sin(bu)\,du.

Passo 3

Agora calculamos
J = \int e^{a u}\sin(bu)\,du
por partes, tomando \displaystyle u = e^{a u}, dv = \sin(bu)\,du.
Então \,du = a e^{a u}\,du e \,v = -\frac{1}{b}\cos(bu).
Isso dá
J = -\,e^{a u}\,\frac{\cos(bu)}{b} \;+\;\int \frac{a\,e^{a u}}{b}\cos(bu)\,du =-\frac{e^{a u}}{b}\cos(bu)\;+\;\frac{a}{b}\,I.

Passo 4

Substituímos a expressão de J em \displaystyle I = \frac{e^{a u}}{b}\sin(bu)-\frac{a}{b}\,J.
Isso gera
I = \frac{e^{a u}}{b}\sin(bu) -\frac{a}{b}\Bigl(-\frac{e^{a u}}{b}\cos(bu)+\frac{a}{b}I\Bigr) =\frac{e^{a u}}{b}\sin(bu)+\frac{a\,e^{a u}}{b^{2}}\cos(bu)-\frac{a^{2}}{b^{2}}I.
Passando o termo com I para o lado esquerdo:
I+\frac{a^{2}}{b^{2}}I =\frac{e^{a u}}{b}\sin(bu)+\frac{a\,e^{a u}}{b^{2}}\cos(bu),
\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}\,I =\frac{e^{a u}}{b}\sin(bu)+\frac{a\,e^{a u}}{b^{2}}\cos(bu).

Passo 5

Isolando I e simplificando:
I =\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\Bigl(\frac{e^{a u}}{b}\sin(bu)+\frac{a\,e^{a u}}{b^{2}}\cos(bu)\Bigr) =\frac{e^{a u}}{a^{2}+b^{2}}\bigl(b\sin(bu)+a\cos(bu)\bigr)+C.

Resposta

\frac{e^{a u}}{a^{2}+b^{2}}\bigl(a\cos(bu)+b\sin(bu)\bigr)+C

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