1. \int u^{n} d u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c, n \neq-1.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar a primitiva (ou integral indefinida) de \;u^{n}\; e dá a fórmula
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c,\quad n\neq -1.
Informações fornecidas: a expressão a integrar é \;u^{n}\; e há a restrição \;n\neq -1\; (isso evita divisão por zero na fórmula). O objetivo é justificar por que a primitiva dada está correta e explicar por que o caso \;n=-1\; é especial.

Passo 2

Vamos lembrar a ferramenta que usamos para encontrar primitivas: a regra do poder para derivadas e a ideia de que integrar é o processo inverso de derivar. A regra do poder para derivadas afirma que, para qualquer número real \;k\; em que a função u\mapsto u^{k} seja diferenciável,
\frac{d}{du}\bigl(u^{k}\bigr)=k\,u^{k-1}.
Explicação simples dessa regra: quando aumentamos ou diminuímos a potência de u em uma expressão como u^{k}, ao derivar trazemos o expoente como fator multiplicativo e subtraímos 1 do expoente. Além disso existe a regra da constante: se a é constante então
\frac{d}{du}\bigl(a\cdot f(u)\bigr)=a\cdot f'(u).
Essas duas regras juntas nos permitem reconhecer primitivas porque, se conseguirmos encontrar uma função F(u) cuja derivada seja exatamente u^{n}, então
\int u^{n}\,du = F(u) + c,
onde c é a constante de integração (necessária porque derivada de constante é zero).

Passo 3

Procuramos uma função F(u) tal que F'(u)=u^{n}. Uma tentativa natural é elevar u a uma potência um valor maior e dividir pelo novo expoente, isto é testar
F(u)=\frac{u^{n+1}}{n+1},
desde que \;n+1\neq 0 (ou seja, \;n\neq -1). Vamos derivar F(u) para verificar se ela funciona. Usando a regra do poder e a regra da constante:
\frac{d}{du}\left(\frac{u^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1}\cdot\frac{d}{du}\bigl(u^{n+1}\bigr) = \frac{1}{n+1}\cdot (n+1)\,u^{(n+1)-1} = u^{n}.
Aqui cada passo significa: primeiro tiramos a constante \frac{1}{n+1} para fora da derivada; depois aplicamos a regra do poder a u^{n+1}, obtendo (n+1)u^{n}; por fim o fator (n+1) cancela com \frac{1}{n+1}, sobrando exatamente u^{n}.

Passo 4

Como encontramos uma função F(u)=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} cuja derivada é u^{n}, concluímos que F é uma primitiva de u^{n}. Portanto, a integral indefinida é
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c,
com c sendo a constante de integração. A constante aparece porque se G(u) é outra primitiva, então G'(u)-F'(u)=0 e G-F é constante.

Passo 5

Vamos checar com um exemplo concreto para fixar: tome \;n=2\;. A fórmula dá
\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}+c.
Verificação derivando:
\frac{d}{du}\left(\frac{u^{3}}{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot 3u^{2}=u^{2},
logo está correto. Isso mostra como usar a fórmula na prova — memorize a ideia: aumente o expoente em 1 e divida pelo novo expoente.

Passo 6

Por que \;n=-1\; é excluído? Se n=-1 então u^{n}=u^{-1}=\dfrac{1}{u}, e a expressão \dfrac{u^{n+1}}{n+1} produziria divisão por zero porque n+1=0. Nesse caso a primitiva conhecida é o logaritmo natural com valor absoluto:
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+c,
porque \dfrac{d}{du}\bigl(\ln|u|\bigr)=\dfrac{1}{u}. Então o caso n=-1 precisa ser tratado separadamente.

Passo 7

Resumo prático para a prova (dica de amigo): quando você ver \int u^{n}\,du com n\neq -1, aplique diretamente a regra “aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente”. Se der n=-1, lembre-se de que o resultado é \ln|u|+c. Sempre acrescente a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c,\; n\neq -1.

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