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.
Passo 1
O enunciado pede para apresentar a primitiva (ou integral indefinida) de
e dá a fórmula
Informações fornecidas: a expressão a integrar é
e há a restrição
(isso evita divisão por zero na fórmula). O objetivo é justificar por que a primitiva dada está correta e explicar por que o caso
é especial.
Passo 2
Vamos lembrar a ferramenta que usamos para encontrar primitivas: a regra do poder para derivadas e a ideia de que integrar é o processo inverso de derivar. A regra do poder para derivadas afirma que, para qualquer número real
em que a função
seja diferenciável,
Explicação simples dessa regra: quando aumentamos ou diminuímos a potência de
em uma expressão como
, ao derivar trazemos o expoente como fator multiplicativo e subtraímos 1 do expoente. Além disso existe a regra da constante: se
é constante então
Essas duas regras juntas nos permitem reconhecer primitivas porque, se conseguirmos encontrar uma função
cuja derivada seja exatamente
, então
onde
é a constante de integração (necessária porque derivada de constante é zero).
Passo 3
Procuramos uma função
tal que
. Uma tentativa natural é elevar
a uma potência um valor maior e dividir pelo novo expoente, isto é testar
desde que
(ou seja,
). Vamos derivar
para verificar se ela funciona. Usando a regra do poder e a regra da constante:
Aqui cada passo significa: primeiro tiramos a constante
para fora da derivada; depois aplicamos a regra do poder a
, obtendo
; por fim o fator
cancela com
, sobrando exatamente
.
Passo 4
Como encontramos uma função
cuja derivada é
, concluímos que
é uma primitiva de
. Portanto, a integral indefinida é
com
sendo a constante de integração. A constante aparece porque se
é outra primitiva, então
e
é constante.
Passo 5
Vamos checar com um exemplo concreto para fixar: tome
. A fórmula dá
Verificação derivando:
logo está correto. Isso mostra como usar a fórmula na prova — memorize a ideia: aumente o expoente em
e divida pelo novo expoente.
Passo 6
Por que
é excluído? Se
então
, e a expressão
produziria divisão por zero porque
. Nesse caso a primitiva conhecida é o logaritmo natural com valor absoluto:
porque
. Então o caso
precisa ser tratado separadamente.
Passo 7
Resumo prático para a prova (dica de amigo): quando você ver
com
, aplique diretamente a regra “aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente”. Se der
, lembre-se de que o resultado é
. Sempre acrescente a constante de integração.