sob a condição \;u^{2}>a^{2}.\n
Informações dadas e coisas importantes para anotar:
A variável de integração é \;u.
\;a é uma constante (para que a fórmula abaixo faça sentido precisamos que \;a\neq 0).
A condição do enunciado é \;u^{2}>a^{2} (ou seja, |u|>|a|), que garante que os denominadores \;u\pm a são diferentes de zero.
O objetivo é obter uma expressão primitiva (antiderivada) e apresentar a constante de integração \;C.
Passo 2
Escolhemos o método de frações parciais porque \displaystyle \frac{1}{u^{2}-a^{2}} é uma função racional cujo denominador se fatoriza em termos lineares distintos:
u^{2}-a^{2}=(u-a)(u+a).
Frações parciais é um método básico e direto quando o denominador se fatoriza em fatores lineares; ele transforma a integral em somas de integrais da forma \displaystyle\int \frac{du}{u-b}, que sabemos integrar facilmente.
Passo 3
Escrevemos a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes \;A e \;B tais que
Comentário sobre a condição \;u^{2}>a^{2}: essa condição garante \;u\pm a\neq 0. Além disso, quando |u|>|a| vemos que (u-a) e (u+a) têm o mesmo sinal (ambos positivos se u>a; ambos negativos se u<-a), logo a razão \displaystyle\frac{u-a}{u+a} é positiva. Por isso o argumento do logaritmo é positivo e o valor de \ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| coincide com \ln\left(\frac{u-a}{u+a}\right) sem as barras. Mesmo assim, escrever o valor com valor absoluto é a forma geral e segura.
Passo 9
Verificação rápida (cheque que dá para a prova): derivando o resultado retornamos ao integrando. Seja