1. \int \frac{du}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{u-a}{u+a}\right|+c, u^{2}>a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}}
e afirma que o resultado é
\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|+C,
sob a condição \;u^{2}>a^{2}.\n
Informações dadas e coisas importantes para anotar:
  • A variável de integração é \;u.
  • \;a é uma constante (para que a fórmula abaixo faça sentido precisamos que \;a\neq 0).
  • A condição do enunciado é \;u^{2}>a^{2} (ou seja, |u|>|a|), que garante que os denominadores \;u\pm a são diferentes de zero.
  • O objetivo é obter uma expressão primitiva (antiderivada) e apresentar a constante de integração \;C.

Passo 2

Escolhemos o método de frações parciais porque \displaystyle \frac{1}{u^{2}-a^{2}} é uma função racional cujo denominador se fatoriza em termos lineares distintos:
u^{2}-a^{2}=(u-a)(u+a).
Frações parciais é um método básico e direto quando o denominador se fatoriza em fatores lineares; ele transforma a integral em somas de integrais da forma \displaystyle\int \frac{du}{u-b}, que sabemos integrar facilmente.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes \;A e \;B tais que
\frac{1}{u^{2}-a^{2}}=\frac{A}{u-a}+\frac{B}{u+a}.
Multiplicando ambos os lados por (u-a)(u+a) obtemos a identidade (válida para todo u não anulando os denominadores):
1 = A(u+a)+B(u-a).

Passo 4

Agora igualamos coeficientes para determinar \;A\) e \(\;B\). Expandindo: \[1 = (A+B)u + (Aa - Ba).
Como o lado esquerdo é a constante 1 (ou seja, 0\cdot u + 1), devemos ter o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] Aa - Ba = 1. \end{cases}
Da primeira equação (;B=-A]. Substituindo na segunda:
Aa - (-A)a = 1 \quad\Rightarrow\quad 2aA = 1.
Logo
A=\frac{1}{2a},\qquad B=-\frac{1}{2a}.]

Passo 5

Substituímos \;A e \;B na decomposição e escrevemos a integral como soma de integrandas simples:
\frac{1}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{u-a}-\frac{1}{u+a}\right).
Portanto
\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}\int\left(\frac{1}{u-a}-\frac{1}{u+a}\right)du.

Passo 6

Integramos termo a termo. Lembre que, para uma constante b,
\int \frac{du}{u-b}=\ln\left|u-b\right|+ \text{constante},
porque a derivada de \ln|u-b| em relação a u é \displaystyle\frac{1}{u-b}. Aplicando isso:
\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}\Big(\ln|u-a| - \ln|u+a|\Big)+C.

Passo 7

Usamos a propriedade dos logaritmos para juntar os termos:
\ln|u-a| - \ln|u+a| = \ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|.
Portanto obtemos a primitiva desejada:
\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|+C.

Passo 8

Comentário sobre a condição \;u^{2}>a^{2}: essa condição garante \;u\pm a\neq 0. Além disso, quando |u|>|a| vemos que (u-a) e (u+a) têm o mesmo sinal (ambos positivos se u>a; ambos negativos se u<-a), logo a razão \displaystyle\frac{u-a}{u+a} é positiva. Por isso o argumento do logaritmo é positivo e o valor de \ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| coincide com \ln\left(\frac{u-a}{u+a}\right) sem as barras. Mesmo assim, escrever o valor com valor absoluto é a forma geral e segura.

Passo 9

Verificação rápida (cheque que dá para a prova): derivando o resultado retornamos ao integrando. Seja
F(u)=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|.
Derivando:
F'(u)=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{u-a}-\frac{1}{u+a}\right) =\frac{1}{2a}\cdot\frac{(u+a)-(u-a)}{(u-a)(u+a)} =\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a}{u^{2}-a^{2}} =\frac{1}{u^{2}-a^{2}},
o que confirma que F é realmente uma primitiva.

Resposta

\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|+C

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