\int u^{n} d u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c, \quad n \neq-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva de \;u^{n} com n\neq -1. O conteúdo é integração de potências e vamos usar a ideia de “anti‐derivada”, ou seja, procurar uma função cuja derivada seja u^{n}.

Passo 2

Lembramos que a derivada de \tfrac{u^{n+1}}{n+1} em relação a u é
\frac{d}{du}\!\Bigl(\frac{u^{n+1}}{n+1}\Bigr) = \frac{1}{n+1}\,(n+1)\,u^{(n+1)-1} = u^{n}.
Isso mostra que \tfrac{u^{n+1}}{n+1} é uma primitiva de u^{n}.

Passo 3

Como toda primitiva é determinada a menos de uma constante, adicionamos a constante arbitrária c. Logo, a antiderivada geral de u^{n} é
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c,
válido sempre que n\neq -1 (pois aí não ocorreria divisão por zero).

Resposta

\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c,\quad n\neq -1.

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