\int_{-1}^{2}(x-2|x|) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\bigl(x - 2|x|\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função definida por partes, já que |x| muda de expressão em x=0. Vamos dividir o intervalo em duas partes onde a expressão de |x| é simples.

Passo 2

Identificamos que |x|\) satisfaz \[|x| = \begin{cases} -x, & x<0,\\\ x, & x\ge0. \end{cases}
Logo, em cada subintervalo o integrando x-2|x|\] fica para \(x\in[-1,0]:
x - 2|x| = x - 2(-x) = 3x,
e para x\in[0,2]:
x - 2|x| = x - 2x = -x.

Passo 3

Calcular a integral no trecho [-1,0]:
\int_{-1}^{0}3x\,dx = \left[\tfrac{3}{2}x^2\right]_{-1}^{0} = \bigl(0\bigr) - \tfrac{3}{2}\,(1) = -\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Calcular a integral no trecho [0,2]:
\int_{0}^{2}(-x)\,dx = \left[-\tfrac{1}{2}x^2\right]_{0}^{2} = \bigl(-\tfrac{1}{2}\cdot4\bigr) - 0 = -2.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
\int_{-1}^{2}(x - 2|x|)\,dx = -\tfrac{3}{2} + (-2) = -\tfrac{7}{2}.

Resposta

-\tfrac{7}{2}

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