\int_{0}^{4}\left(3 \sqrt{t}-2 e^{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{4}\bigl(3\sqrt{t}-2e^{t}\bigr)\,dt.
O conteúdo usado aqui é o de integrais definidas de funções elementares: potência de t e exponencial. Para resolver, vamos separar em duas integrais, aplicar as antiderivadas conhecidas e depois avaliar os limites.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes e tiramos as constantes para fora:
\int_{0}^{4}\bigl(3\sqrt{t}-2e^{t}\bigr)\,dt =3\int_{0}^{4}t^{1/2}\,dt -2\int_{0}^{4}e^{t}\,dt.

Passo 3

Calculamos
3\int_{0}^{4}t^{1/2}\,dt.
Como \int t^{n}\,dt = \tfrac{t^{n+1}}{n+1}, com n=\tfrac12, temos
3\int t^{1/2}\,dt =3\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2} =2\,t^{3/2}.
Avaliando de 0 a 4:
2\bigl(4^{3/2}-0^{3/2}\bigr) =2\cdot8 =16.

Passo 4

Calculamos
-2\int_{0}^{4}e^{t}\,dt.
Como \int e^{t}\,dt = e^{t}, obtemos
-2\bigl(e^{4}-e^{0}\bigr) =-2e^{4}+2.

Passo 5

Somando os resultados das duas partes:
16 + (-2e^{4}+2) =18 - 2e^{4}.

Resposta

18 - 2e^{4}

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