\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\Bigl(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\Bigr)\,dx
O conteúdo é cálculo integral de funções elementares: polinômio e recíproco. Vamos usar as regras
\displaystyle\int x\,dx = \tfrac{x^2}{2}
\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x

Passo 2

Separe a integral em duas partes:
\int_{1}^{2}\frac{x}{2}\,dx \;-\;\int_{1}^{2}\frac{2}{x}\,dx.
Calcule cada antiderivada:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\,\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4},
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln x.
Logo uma primitiva é
F(x)=\frac{x^2}{4}-2\ln x.

Passo 3

Pela fórmula da integral definida,
\int_{1}^{2}\Bigl(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\Bigr)\,dx =F(2)-F(1).

Passo 4

Calcule F(2) e F(1):
F(2)=\frac{2^2}{4}-2\ln 2 =1-2\ln 2,
F(1)=\frac{1^2}{4}-2\ln 1 =\frac{1}{4}-0 = \frac{1}{4}.
Então
F(2)-F(1)=\bigl(1-2\ln 2\bigr)-\frac{1}{4} =\frac{3}{4}-2\ln 2.

Resposta

\frac{3}{4}-2\ln 2

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