\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi}(\sin x+y \cos x) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} (\sin x + y \cos x)\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • Os limites internos são x de 0 a \pi.
  • Os limites externos são y de 0 a 2.
  • A função integranda é \sin x + y\cos x.
    Objetivo: avaliar o valor numérico dessa integral dupla (integral iterada).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral:
  • Vamos primeiro calcular a integral interna em x, ou seja
I(y)=\int_{0}^{\pi} (\sin x + y\cos x)\, dx,
onde y é tratado como constante ao integrar em x (porque a integração é em relação a x).
  • Usaremos linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral.
    As regras que vamos usar:
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx,
\int a\cdot h(x)\,dx = a\int h(x)\,dx\quad\text{(se \(a\) não depende de \(x\))}.ã

Passo 3

Integração do primeiro termo em x: \sin x.
A primitiva (antiderivada) de \sin x é -\cos x, pois \frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x.
Portanto a integral definida é
\int_{0}^{\pi} \sin x\, dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi}.
Avaliação:
\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - \bigl(-\cos(0)\bigr).
Sabendo que \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1, obtemos
-\cos(\pi) - \bigl(-\cos(0)\bigr) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2.

Passo 4

Integração do segundo termo em x: y\cos x.
Como y é constante em relação a x, podemos puxá-lo para fora da integral:
\int_{0}^{\pi} y\cos x\, dx = y\int_{0}^{\pi} \cos x\, dx.
A primitiva de \cos x é \sin x, logo
\int_{0}^{\pi} \cos x\, dx = \bigl[\sin x\bigr]_{0}^{\pi} = \sin(\pi)-\sin(0).
Sabendo que \sin(\pi)=0 e \sin(0)=0, temos
\bigl[\sin x\bigr]_{0}^{\pi} = 0-0 = 0.
Portanto
\int_{0}^{\pi} y\cos x\, dx = y\cdot 0 = 0.

Passo 5

Somando as duas partes da integral interna I(y):
I(y)=\int_{0}^{\pi} (\sin x + y\cos x)\, dx = 2 + 0 = 2.
Observe que o resultado é independente de y; para qualquer y entre 0 e 2 a integral interna vale 2.

Passo 6

Agora integramos em y o resultado constante I(y)=2:
\int_{0}^{2} I(y)\, dy = \int_{0}^{2} 2\, dy.
A primitiva de 2 em relação a y é 2y, assim
\int_{0}^{2} 2\, dy = \bigl[2y\bigr]_{0}^{2} = 2\cdot 2 - 2\cdot 0 = 4.

Passo 7

Breve verificação e comentário final:
  • Fizemos a integral interna em x usando propriedades básicas (linearidade e constantes saindo da integral).
  • O segundo termo anula-se porque \int_{0}^{\pi}\cos x\,dx=0.
  • Portanto o valor da integral dupla é 4. Força aí, você já resolveu a parte mais difícil: separar, integrar termo a termo e lembrar das primitivas de \sin e \cos!

Resposta

4

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