Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- Os limites internos são
de a . - Os limites externos são
de a . - A função integranda é
.
Objetivo: avaliar o valor numérico dessa integral dupla (integral iterada).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral:
- Vamos primeiro calcular a integral interna em
, ou seja
onde
é tratado como constante ao integrar em
(porque a integração é em relação a
).
- Usaremos linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral.
As regras que vamos usar:
Passo 3
Integração do primeiro termo em
:
.
A primitiva (antiderivada) de é
, pois
.
Portanto a integral definida é
A primitiva (antiderivada) de
Portanto a integral definida é
Avaliação:
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 4
Integração do segundo termo em
:
.
Como é constante em relação a
, podemos puxá-lo para fora da integral:
Como
A primitiva de
é
, logo
Sabendo que
e
, temos
Portanto
Passo 5
Somando as duas partes da integral interna
:
Observe que o resultado é independente de
; para qualquer
entre
e
a integral interna vale
.
Passo 6
Agora integramos em
o resultado constante
:
A primitiva de
em relação a
é
, assim
Passo 7
Breve verificação e comentário final:
- Fizemos a integral interna em
usando propriedades básicas (linearidade e constantes saindo da integral). - O segundo termo anula-se porque
. - Portanto o valor da integral dupla é
. Força aí, você já resolveu a parte mais difícil: separar, integrar termo a termo e lembrar das primitivas de e !