\int x^{3}\left(\cos x^{2}\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int x^{3}\cos(x^{2})\,dx. Vamos usar substituição para simplificar a parte polinomial composta com \cos e depois, se necessário, aplicar integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \tfrac{du}{2}.
Como x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = u\cdot\tfrac{du}{2}, a integral vira
\int x^{3}\cos(x^{2})\,dx = \frac12\int u\cos u\,du.

Passo 3

Para \displaystyle \int u\cos u\,du, aplicamos integração por partes, escolhendo
v = u,\quad dv = du, \qquad dw = \cos u\,du,\quad w = \sin u.
Assim
\int u\cos u\,du = u\sin u - \int \sin u\,du = u\sin u + \cos u + C_{1}.

Passo 4

Retornando à integral original e multiplicando por \tfrac12, obtemos
\frac12\bigl(u\sin u + \cos u\bigr) + C = \frac12\bigl(x^{2}\sin(x^{2}) + \cos(x^{2})\bigr) + C.

Resposta

\frac{x^{2}\sin(x^{2}) + \cos(x^{2})}{2} + C

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