\int \ln x d x=

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de \ln x em relação a x, ou seja,
\int \ln x \, dx.
Esse problema envolve o método de integração por partes, cujo conteúdo é a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes para aplicar a fórmula de integração por partes. Uma escolha padrão é
u = \ln x \quad\text{e}\quad dv = dx.

Passo 3

Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int dv = \int dx = x.

Passo 4

Substituímos na fórmula de integração por partes:
\int \ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x \ln x - \int 1\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral remanescente:
\int 1\,dx = x.

Passo 6

Portanto, reunindo tudo, obtemos
\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C.

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