Questão 1 (2 pontos): Explique monotocidade e monotocidade forte nas relações de preferência e as compare. De um exemplo numérico de uma cesta
que é estritamente preferida a cesta
quando as preferências satisfazem a monotocidade forte, mas a cesta
não é necessariamente preferida a cesta
quando as preferências satisfazem apenas a monotocidade.
Passo 1
O enunciado pede para explicarmos duas propriedades de relações de preferência sobre cestas de bens: a monotonicidade e a monotonicidade forte. Vamos precisar definir cada uma, mostrar em que elas diferem e, por fim, dar um exemplo numérico de duas cestas
e
tais que
- se a preferência satisfaz apenas a monotonicidade então
não precisa ser estritamente preferida a , mas - se a preferência satisfaz monotonicidade forte então
será estritamente preferida a .
Passo 2
Monotonicidade (ou monotonicidade fraca) significa que “mais é melhor em pelo menos não pior”: se uma cesta
tem ao menos tantas unidades de cada bem quanto uma cesta
, então
é ao menos tão boa quanto
. Em símbolos, para todo par de cestas
se
então
Passo 3
Monotonicidade forte (ou estrita) reforça que “mais de pelo menos um bem torna estritamente melhor”: se
tem ao menos tantas unidades de cada bem quanto
e estritamente mais de algum bem, então
é estritamente melhor que
. Formalmente, se
então
Passo 4
Comparando as duas:
- Monotonicidade forte implica monotonicidade fraca (pois se
então certamente ). - Mas monotonicidade fraca não implica monotonicidade forte: a preferência pode aceitar que cestas com mais de um bem sejam apenas indiferentes, sem gerar estrita preferência.
Passo 5
Exemplo numérico em
: escolha
Note que
para
e
.
- Se a preferência satisfaz monotonicidade forte, então
. - Se a preferência satisfaz apenas monotonicidade fraca, tudo o que garantimos é
; mas pode ocorrer (por exemplo, numa preferência de complementos perfeitos com função , onde ).
Resposta
Para
e
:
- sob monotonicidade forte temos
, - sob monotonicidade fraca temos apenas
, podendo ocorrer .