Questão 1 (2 pontos): Explique monotocidade e monotocidade forte nas relações de preferência e as compare. De um exemplo numérico de uma cesta x que é estritamente preferida a cesta y quando as preferências satisfazem a monotocidade forte, mas a cesta x não é necessariamente preferida a cesta y quando as preferências satisfazem apenas a monotocidade.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos duas propriedades de relações de preferência sobre cestas de bens: a monotonicidade e a monotonicidade forte. Vamos precisar definir cada uma, mostrar em que elas diferem e, por fim, dar um exemplo numérico de duas cestas x e y tais que
  • se a preferência satisfaz apenas a monotonicidade então x não precisa ser estritamente preferida a y, mas
  • se a preferência satisfaz monotonicidade forte então x será estritamente preferida a y.

Passo 2

Monotonicidade (ou monotonicidade fraca) significa que “mais é melhor em pelo menos não pior”: se uma cesta x tem ao menos tantas unidades de cada bem quanto uma cesta y, então x é ao menos tão boa quanto y. Em símbolos, para todo par de cestas
x=(x_1,\dots,x_n),\quad y=(y_1,\dots,y_n),
se
x_i \ge y_i\quad\text{para todo }i=1,\dots,n,
então x \succeq y.

Passo 3

Monotonicidade forte (ou estrita) reforça que “mais de pelo menos um bem torna estritamente melhor”: se x tem ao menos tantas unidades de cada bem quanto y e estritamente mais de algum bem, então x é estritamente melhor que y. Formalmente, se
x_i \ge y_i\\ \forall i \quad\text{e}\quad x_j > y_j\\ \text{para algum }j,
então x \succ y.

Passo 4

Comparando as duas:
  • Monotonicidade forte implica monotonicidade fraca (pois se x\succ y então certamente x\succeq y).
  • Mas monotonicidade fraca não implica monotonicidade forte: a preferência pode aceitar que cestas com mais de um bem sejam apenas indiferentes, sem gerar estrita preferência.

Passo 5

Exemplo numérico em \mathbb{R}^2_+: escolha
y=(1,1), \quad x=(2,1).
Note que x_i \ge y_i para i=1,2 e x_1>y_1.
  • Se a preferência satisfaz monotonicidade forte, então x\succ y.
  • Se a preferência satisfaz apenas monotonicidade fraca, tudo o que garantimos é x\succeq y; mas pode ocorrer x\sim y (por exemplo, numa preferência de complementos perfeitos com função u(x_1,x_2)=\min\{x_1,x_2\}, onde u(x)=1=u(y)).

Resposta

Para x=(2,1) e y=(1,1):
  • sob monotonicidade forte temos x\succ y,
  • sob monotonicidade fraca temos apenas x\succeq y, podendo ocorrer x\sim y.

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