Questão 2 (3,0 pontos): Uma jovem conhecedora quer construir uma pegada adega com tipos de vinhos um Bordeaux francês de 2001\left(x_{1}\right) e um vinho varietal da Califórnia de 2005\left(x_{2}\right). Sua utilidade para a construção de sua adega é dada por:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{\frac{2}{3}} x_{2}^{\frac{1}{3}}
a) Encontre a demanda Walrasiana dos vinhos Bordeaux e varietal.
b) Suponha que a jovem tem \ 600 unidades monetárias para gastar na construção de sua pequena adega. Se o preço do vinho Bordeaux francês de 2001 custaráçãçê$40 por garrafa e do vinho varietal da Califórnia de 2005 custar \ó8, quanto de cada vinho ela deve comprar para maximizar a sua utilidade?

Passo 1

O enunciado descreve uma consumidora com utilidade
U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\tfrac{2}{3}}\,x_{2}^{\tfrac{1}{3}}
onde x_{1} é o número de garrafas de Bordeaux (preço p_{1}) e x_{2} o número de garrafas do varietal (preço p_{2}), sujeita à restrição orçamentária
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=M.
Vamos primeiro derivar as demandas walrasianas \bigl(x_{1}(p_{1},p_{2},M),x_{2}(p_{1},p_{2},M)\bigr) e depois aplicar a M=600, p_{1}=40, p_{2}=8.

Passo 2

Usamos o método de Lagrange definindo
L(x_{1},x_{2},\lambda)=x_{1}^{\tfrac{2}{3}}x_{2}^{\tfrac{1}{3}} \;+\;\lambda\bigl(M - p_{1}x_{1} - p_{2}x_{2}\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = \tfrac{2}{3}\,x_{1}^{-\tfrac{1}{3}}\,x_{2}^{\tfrac{1}{3}} \;-\;\lambda p_{1} = 0,
\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = \tfrac{1}{3}\,x_{1}^{\tfrac{2}{3}}\,x_{2}^{-\tfrac{2}{3}} \;-\;\lambda p_{2} = 0,
e ainda vale p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=M.

Passo 3

Dividindo \frac{\partial L/\partial x_{1}}{\partial L/\partial x_{2}} para eliminar \lambda, obtemos
\frac{\tfrac{2}{3}x_{1}^{-\tfrac{1}{3}}x_{2}^{\tfrac{1}{3}}}{p_{1}} = \frac{\tfrac{1}{3}x_{1}^{\tfrac{2}{3}}x_{2}^{-\tfrac{2}{3}}}{p_{2}} \quad\Longrightarrow\quad 2\,p_{2}\,x_{2}=p_{1}\,x_{1} \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{p_{1}}{2\,p_{2}}\,x_{1}.

Passo 4

Substituindo x_{2}=\tfrac{p_{1}}{2p_{2}}x_{1} na restrição orçamentária,
p_{1}x_{1}+p_{2}\Bigl(\tfrac{p_{1}}{2p_{2}}x_{1}\Bigr)=M \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{3}{2}p_{1}x_{1}=M \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{2}{3}\,\frac{M}{p_{1}}.
Então
x_{2}=\frac{p_{1}}{2\,p_{2}}\,\Bigl(\frac{2}{3}\,\frac{M}{p_{1}}\Bigr) =\frac{1}{3}\,\frac{M}{p_{2}}.

Passo 5

Para M=600, p_{1}=40, p_{2}=8 temos
x_{1}=\frac{2}{3}\,\frac{600}{40} =\frac{2}{3}\times 15 =10,
x_{2}=\frac{1}{3}\,\frac{600}{8} =\frac{1}{3}\times 75 =25.

Resposta

As demandas walrasianas são
x_{1}(p_{1},p_{2},M)=\frac{2}{3}\,\frac{M}{p_{1}}, \quad x_{2}(p_{1},p_{2},M)=\frac{1}{3}\,\frac{M}{p_{2}}.
Para M=600, p_{1}=40, p_{2}=8: x_{1}=10 garrafas de Bordeaux e x_{2}=25 garrafas do varietal.

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