Série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}+n}
e) Quantos termos são necessários para que o erro seja menor que 0,00001.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}+n}
e pede o número de termos N necessários para que o erro (resto da série a partir de N+1) seja menor que 0,00001. O conteúdo que vamos usar é o teste da integral (ou comparação com uma p-série) para estimar o resto de uma série de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1,
\frac{1}{n^{3}+n} \le \frac{1}{n^{3}}.
Se definirmos o resto a partir de N como
R_{N} = \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}+n},
temos
R_{N} \le \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}.

Passo 3

Pelo teste da integral, a cauda da p-série com p=3 satisfaz
\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} \le \int_{N}^{\infty} x^{-3}\,dx.
Calculamos essa integral:
\int_{N}^{\infty} x^{-3}\,dx = \left[-\tfrac12\,x^{-2}\right]_{N}^{\infty} = \frac{1}{2\,N^{2}}.
Logo chegamos ao majorante
R_{N} \le \frac{1}{2\,N^{2}}.

Passo 4

Queremos que
R_{N} < 0,00001,
isto é,
\frac{1}{2\,N^{2}} < 10^{-5}.
Isso implica
N^{2} > \frac{1}{2\cdot 10^{-5}} = 50000 \quad\Longrightarrow\quad N > \sqrt{50000}\approx 223{,}61.
Como N deve ser inteiro, o menor valor que garante o erro abaixo de 10^{-5} é
N = 224.

Resposta

Para que o erro seja menor que 0,00001, são necessários 224 termos.

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