) \int_{0}^{5} \int_{-1}^{0}(x-5)(y+7) d x d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\int_{0}^{5}\int_{-1}^{0}(x-5)(y+7)\,dx\,dy.
Esse é um domínio retangular no plano (x,y) e a função é do tipo produto de uma parte em x por outra em y, então podemos usar o Teorema de Fubini e fatorar.

Passo 2

Primeiro integramos em x, tratando (y+7) como constante:
\int_{-1}^{0}(x-5)(y+7)\,dx = (y+7)\int_{-1}^{0}(x-5)\,dx.
Agora
\int_{-1}^{0}(x-5)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-5x\right]_{-1}^{0} = \bigl(0-0\bigr) -\Bigl(\frac{1}{2}+5\Bigr) = -\frac{11}{2}.

Passo 3

Substituindo de volta, a integral torna-se
\int_{0}^{5}(y+7)\Bigl(-\tfrac{11}{2}\Bigr)\,dy = -\frac{11}{2}\int_{0}^{5}(y+7)\,dy.
Calculamos
\int_{0}^{5}(y+7)\,dy = \left[\frac{y^2}{2}+7y\right]_{0}^{5} = \frac{25}{2}+35 = \frac{95}{2}.

Passo 4

Multiplicando os resultados:
I = -\frac{11}{2}\;\cdot\;\frac{95}{2} = -\frac{1045}{4}.

Resposta

-\frac{1045}{4}

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