(Questão 4-2,0 pontos) Um corpo sólido ocupando o espaço desde y=0 até y= infinito está inicialmente a \mathrm{T}_{0}. A partir de \mathrm{t}=0, um fluxo térmico periódico dado por \mathrm{q}_{y}=\mathrm{q}_{0} \cdot \cos (\mathrm{wt}) é imposto em y=0. Aqui, qo é a amplitude da oscilação do fluxo térmico e w é a frequência (circular). Determinar a temperatura nesse sistema, \mathrm{T}(\mathrm{y}, \mathrm{t}), no estado periódico estacionário.
Passo 1
O enunciado descreve a condução de calor unidimensional num sólido semi–infinito y\ge0 que, inicialmente, está à temperatura uniforme \mathrm{T}_{0}. A partir de t=0 aplica–se na face y=0 um fluxo térmico periódico
q_{y}(0,t)=q_{0}\cos(\omega t).
Queremos a solução no regime periódico estacionário: \mathrm{T}(y,t) após os transientes terem decaído. O conteúdo principal é resolver
logo, igualando partes reais, obtemos para \Theta(y) a ODE
\Theta''(y)-\frac{i\omega}{\alpha}\,\Theta(y)=0.
Passo 3
A equação
\Theta''-\frac{i\omega}{\alpha}\,\Theta=0
tem raízes \pm\sqrt{i\omega/\alpha}=(1\pm i)\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}}. Como o sólido é semi–infinito, rejeitamos a solução que cresce em y\to\infty. Assim