(Questão 4-2,0 pontos) Um corpo sólido ocupando o espaço desde y=0 até y= infinito está inicialmente a \mathrm{T}_{0}. A partir de \mathrm{t}=0, um fluxo térmico periódico dado por \mathrm{q}_{y}=\mathrm{q}_{0} \cdot \cos (\mathrm{wt}) é imposto em y=0. Aqui, qo é a amplitude da oscilação do fluxo térmico e w é a frequência (circular). Determinar a temperatura nesse sistema, \mathrm{T}(\mathrm{y}, \mathrm{t}), no estado periódico estacionário.

Passo 1

O enunciado descreve a condução de calor unidimensional num sólido semi–infinito y\ge0 que, inicialmente, está à temperatura uniforme \mathrm{T}_{0}. A partir de t=0 aplica–se na face y=0 um fluxo térmico periódico
q_{y}(0,t)=q_{0}\cos(\omega t).
Queremos a solução no regime periódico estacionário: \mathrm{T}(y,t) após os transientes terem decaído. O conteúdo principal é resolver
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}
sujeito a
-k\,\frac{\partial T}{\partial y}\Big|_{y=0}=q_{0}\cos(\omega t), \qquad T(y\to\infty,t)=T_{0},
onde \alpha=k/(\rho c_{p}) é a difusividade térmica e k a condutividade.

Passo 2

Para atacar o regime periódico, usamos o método dos números complexos e write
T(y,t)=T_{0}+\Re\bigl\{\Theta(y)\,e^{i\omega t}\bigr\}.
No interior do sólido, a equação difusiva vira
\frac{\partial T}{\partial t}=\Re\bigl\{i\omega\,\Theta(y)e^{i\omega t}\bigr\} \;,\quad \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=\Re\bigl\{\Theta''(y)e^{i\omega t}\bigr\}
logo, igualando partes reais, obtemos para \Theta(y) a ODE
\Theta''(y)-\frac{i\omega}{\alpha}\,\Theta(y)=0.

Passo 3

A equação
\Theta''-\frac{i\omega}{\alpha}\,\Theta=0
tem raízes \pm\sqrt{i\omega/\alpha}=(1\pm i)\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}}. Como o sólido é semi–infinito, rejeitamos a solução que cresce em y\to\infty. Assim
\Theta(y)=C\;\exp\!\Bigl[-(1+i)\,y\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}}\Bigr].

Passo 4

Impondo o fluxo de calor em y=0:
-k\,\frac{\partial T}{\partial y}\Big|_{y=0} =-k\,\Re\bigl\{\Theta'(0)\,e^{i\omega t}\bigr\} \;=\;q_{0}\cos(\omega t).
Calculamos
\Theta'(y) =-\,C\,(1+i)\sqrt{\frac{\omega}{2\alpha}}\; \exp\!\Bigl[-(1+i)y\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}}\Bigr],
logo em y=0 a condição complexa é
k\,(1+i)\sqrt{\frac{\omega}{2\alpha}}\,C \;=\;q_{0} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{q_{0}}{k\,(1+i)\,\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}}}\,.

Passo 5

Substituindo em
T(y,t)=T_{0}+\Re\bigl\{C\,e^{-(1+i)y\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}}}\,e^{i\omega t}\bigr\}
e escrevendo em forma real, usa-se
\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2} =\frac{1}{\sqrt2}\,e^{-i\pi/4},
resultando em
T(y,t)=T_{0} +\frac{q_{0}\,\sqrt{\alpha}}{k\,\sqrt{\omega}}\, \exp\!\Bigl(-y\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}}\Bigr) \cos\!\Bigl(\omega t -\;y\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}} -\;\tfrac{\pi}{4}\Bigr).

Resposta

T(y,t)=T_{0} +\frac{q_{0}\,\sqrt{\alpha}}{k\,\sqrt{\omega}}\, \exp\!\Bigl(-y\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}}\Bigr) \cos\!\Bigl(\omega t -\;y\sqrt{\tfrac{\omega}{2\alpha}} -\;\tfrac{\pi}{4}\Bigr).

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