\int(x+1 / x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \bigl(x + \tfrac{1}{x}\bigr)^{2} \,dx.
Aqui vamos usar expansão de polinômio e a regra de potência para integrar termo a termo.

Passo 2

Expandindo o quadrado obtemos
\bigl(x + \tfrac{1}{x}\bigr)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot\tfrac{1}{x} + \bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^{2} = x^{2} + 2 + x^{-2}.

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente:
\int x^{2}\,dx = \tfrac{x^{3}}{3}, \quad \int 2\,dx = 2x, \quad \int x^{-2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -x^{-1}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int \bigl(x + \tfrac{1}{x}\bigr)^{2} \,dx = \tfrac{x^{3}}{3} + 2x - \tfrac{1}{x} + C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C.

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