1. \int\left(x^{2}+x^{-2}\right) d x
  2. \int\left(\sqrt{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}}\right) d x
  3. \int\left(x^{4}-\frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{4} x-2\right) d x
  4. \int\left(y^{3}+1,8 y^{2}-2,4 y\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais indefinidas de funções polinomiais e de potências, usando a regra do poder:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.
Em itens com radicais, primeiro convertemos em potência (por exemplo \sqrt{x^3}=x^{3/2}, \sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}).

Passo 2

Para
\int\bigl(x^{2}+x^{-2}\bigr)\,dx
aplicamos a regra do poder a cada termo:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}, \qquad \int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}.
Logo
\int\bigl(x^{2}+x^{-2}\bigr)\,dx =\frac{x^{3}}{3}-x^{-1}+C.

Passo 3

Para
\int\bigl(\sqrt{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}}\bigr)\,dx
escrevemos \sqrt{x^{3}}=x^{3/2} e \sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}. Então
\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}, \qquad \int x^{2/3}\,dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}=\frac{3}{5}x^{5/3}.
Assim
\int\bigl(\sqrt{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}}\bigr)\,dx =\frac{2}{5}x^{5/2}+\frac{3}{5}x^{5/3}+C.

Passo 4

Para
\int\Bigl(x^{4}-\tfrac12x^{3}+\tfrac14x-2\Bigr)\,dx
integramos termo a termo:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}, \quad \int -\tfrac12x^{3}\,dx=-\tfrac12\cdot\frac{x^{4}}{4}=-\frac{x^{4}}{8},
\int \tfrac14x\,dx=\tfrac14\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{8}, \quad \int -2\,dx=-2x.
Logo
\int\Bigl(x^{4}-\tfrac12x^{3}+\tfrac14x-2\Bigr)\,dx =\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{2}}{8}-2x+C.

Passo 5

Para
\int\bigl(y^{3}+1,8\,y^{2}-2,4\,y\bigr)\,dy
reconhecemos coeficientes decimais 1,8 e -2,4. Integramos:
\int y^{3}\,dy=\frac{y^{4}}{4}, \quad \int 1,8\,y^{2}\,dy=1,8\cdot\frac{y^{3}}{3}=0,6\,y^{3}, \quad \int -2,4\,y\,dy=-2,4\cdot\frac{y^{2}}{2}=-1,2\,y^{2}.
Portanto
\int\bigl(y^{3}+1,8\,y^{2}-2,4\,y\bigr)\,dy =\frac{y^{4}}{4}+0,6\,y^{3}-1,2\,y^{2}+C.

Resposta

(5) \frac{x^{3}}{3}-x^{-1}+C
(6) \frac{2}{5}x^{5/2}+\frac{3}{5}x^{5/3}+C
(7) \frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{2}}{8}-2x+C
(8) \frac{y^{4}}{4}+0,6\,y^{3}-1,2\,y^{2}+C

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