\int\left(x^{3}-x^{2}+x-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função polinomial
f(x)=x^{3}-x^{2}+x-1
ou seja, calcular
\int\bigl(x^{3}-x^{2}+x-1\bigr)\,dx.
O conteúdo utilizado será a regra de potência para integração e a linearidade do operador integral.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos integrar termo a termo:
\int\bigl(x^{3}-x^{2}+x-1\bigr)\,dx =\int x^{3}\,dx \;-\;\int x^{2}\,dx \;+\;\int x\,dx \;-\;\int 1\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\quad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\quad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\quad \int 1\,dx=x.

Passo 4

Substituindo cada resultado na soma e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(x^{3}-x^{2}+x-1\bigr)\,dx =\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-x+C.

Resposta

\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-x+C

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