Sejam
\vec{u} e
\vec{v} vetores do espaço.
a) Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle| \leq\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| .
Mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz torna-se uma identidade se, e somente se, os vetores
\vec{u} e
\vec{v} são múltiplos um do outro.
b) Prove, usando o item (a), a desigualdade triangular
\|\vec{u}+\vec{v}\| \leq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|
Conclua que
\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\| se, e só se,
\vec{u}=\overrightarrow{0}, \vec{v}=\overrightarrow{0} ou
\vec{u} é um múltiplo positivo de
\vec{v}.