\int_{0}^{2} \int_{y / 2}^{1} e^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral duplo
\int_{0}^{2} \int_{y/2}^{1} e^{x^{2}} \,dx\,dy.
O conteúdo principal envolve troca da ordem de integração em integrais duplas e uso de substituição para avaliar o integral resultante.

Passo 2

A região de integração é
0 \le y \le 2,\quad \frac{y}{2} \le x \le 1.
Se invertermos a ordem, vamos primeiro integrar em y. Para cada x fixo, a condição \frac{y}{2}\le x equivale a y\le 2x, e como também y\le2 e 0\le x\le1 (pois quando y=2 temos x\ge1), obtemos
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 2x.
Logo
\int_{0}^{2} \int_{y/2}^{1} e^{x^{2}} \,dx\,dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2x} e^{x^{2}} \,dy\,dx.

Passo 3

Dentro do integral em y, e^{x^{2}} é constante em relação a y. Portanto,
\int_{0}^{2x} e^{x^{2}} \,dy = e^{x^{2}} \int_{0}^{2x} 1 \,dy = e^{x^{2}} \cdot (2x).
Assim o integral original passa a ser
\int_{0}^{1} 2x\,e^{x^{2}} \,dx.

Passo 4

Para avaliar
\int_{0}^{1} 2x\,e^{x^{2}} \,dx
fazemos a substituição u = x^{2}, de modo que du = 2x\,dx. Os limites em u vão de u(0)=0 até u(1)=1. Logo
\int_{0}^{1} 2x\,e^{x^{2}} \,dx = \int_{0}^{1} e^{u} \,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = e - 1.

Resposta

e - 1

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