INTEGRAÇÃO DE FRAÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
EXERCÍCIOS - LISTA 5
Calcule a integral.
\int \frac{4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{4x}{(x^2+1)^3}\,dx.
O conteúdo é integração de frações racionais, mas como o numerador é proporcional à derivada do denominador, vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2+1
logo
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
\int \frac{4x}{(x^2+1)^3}\,dx = \int \frac{4}{u^3}\,\bigl(x\,dx\bigr) = \int \frac{4}{u^3}\,\frac{du}{2} = 2 \int u^{-3}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
2 \int u^{-3}\,du = 2 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} = -\,u^{-2}.
Voltando a x, obtemos
-\,\frac{1}{(x^2+1)^2} + C.

Resposta

-\frac{1}{(x^2+1)^2} + C

Exercícios relacionados