INTEGRAÇÃO DE FRAÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
EXERCÍCIOS - LISTA 5
Calcule a integral.
\int \frac{2 x^{2}+7 x}{x^{2}+6 x+9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x^{2} + 7x}{x^{2} + 6x + 9}\,dx
O conteúdo necessário é integração de frações racionais por frações parciais, que envolve divisão de polinômios e reconhecimento de quadrado perfeito no denominador.

Passo 2

Fazemos a divisão de 2x^{2}+7x por x^{2}+6x+9:
2x^{2}+7x = 2\,(x^{2}+6x+9) \;+\;(-5x-18).
Logo,
\int \frac{2x^{2}+7x}{x^{2}+6x+9}\,dx = \int 2\,dx \;+\;\int \frac{-5x-18}{x^{2}+6x+9}\,dx.
Note que x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}.

Passo 3

Expressamos o numerador -5x-18 em função de (x+3):
-5x-18 = -5(x+3) -3.
Assim,
\frac{-5x-18}{(x+3)^{2}} = \frac{-5(x+3)}{(x+3)^{2}} \;+\;\frac{-3}{(x+3)^{2}} = -\frac{5}{x+3} \;-\;\frac{3}{(x+3)^{2}}.
Portanto
\int \frac{-5x-18}{(x+3)^{2}}\,dx = \int \Bigl(-\tfrac{5}{x+3} - \tfrac{3}{(x+3)^{2}}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos cada parcela:
\displaystyle \int 2\,dx = 2x,
\displaystyle \int -\frac{5}{x+3}\,dx = -5\ln\lvert x+3\rvert,
\displaystyle \int -\frac{3}{(x+3)^{2}}\,dx = \frac{3}{x+3}.

Resposta

2x \;-\; 5\ln\lvert x+3\rvert \;+\;\frac{3}{x+3} \;+\; C

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