INTEGRAÇÃO DE FRAÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
EXERCÍCIOS - LISTA 5
Calcule a integral.
\int \frac{2 x^{3}+10 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x^{3}+10x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx
O conteúdo é integração de frações racionais por decomposição em termos mais simples, usando substituição.

Passo 2

Observamos que o numerador 2x^{3}+10x pode ser escrito como
2x^{3}+10x = 2x\bigl(x^{2}+1\bigr) + 8x.
Logo,
\frac{2x^{3}+10x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} = \frac{2x\bigl(x^{2}+1\bigr)}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} + \frac{8x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} = \frac{2x}{x^{2}+1} + \frac{8x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.

Passo 3

Integramos o primeiro termo
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Fazendo u = x^{2}+1, temos du = 2x\,dx. Então
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C_{1} = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C_{1}.

Passo 4

Integramos o segundo termo
\int \frac{8x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx.
Usamos a mesma substituição u = x^{2}+1, du = 2x\,dx, logo x\,dx = \tfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{8x}{u^{2}}\,dx = 8 \int \frac{x\,dx}{u^{2}} = 8 \int \frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{2} = 4 \int u^{-2}\,du = 4\bigl(-u^{-1}\bigr) + C_{2} = -\frac{4}{u} + C_{2} = -\frac{4}{x^{2}+1} + C_{2}.

Passo 5

Somando as duas partes e agrupando constantes em C, obtemos
\int \frac{2x^{3}+10x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) \;-\;\frac{4}{x^{2}+1} \;+\; C.

Resposta

\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) \;-\;\frac{4}{x^{2}+1} + C

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