INTEGRAÇÃO DE FRAÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
EXERCÍCIOS - LISTA 5
Calcule a integral.
\int \frac{x^{4}+2 x^{2}+4 x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{4} + 2x^{2} + 4x + 1}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx
Estamos em Integração de frações racionais usando frações parciais. Vamos escrever a função como soma de termos mais simples cujo denominador é (x^{2}+1), (x^{2}+1)^{2} e (x^{2}+1)^{3}.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{x^{4} + 2x^{2} + 4x + 1}{(x^{2}+1)^{3}} = \frac{Ax+B}{x^{2}+1} + \frac{Cx+D}{(x^{2}+1)^{2}} + \frac{Ex+F}{(x^{2}+1)^{3}}.
Multiplicando por (x^{2}+1)^{3} e igualando coeficientes, obtemos
A=0, B=1, C=0, D=0, E=4, F=0.
Logo
\frac{x^{4} + 2x^{2} + 4x + 1}{(x^{2}+1)^{3}} = \frac{1}{x^{2}+1} + \frac{4x}{(x^{2}+1)^{3}}.

Passo 3

Integramos o primeiro termo usando \int \frac{1}{x^{2}+1}dx = \arctan(x):
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).

Passo 4

Para o segundo termo, usamos a substituição
u = x^{2}+1,\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Então
\int \frac{4x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = 4\int \frac{x\,dx}{u^{3}} = 4\int \frac{1}{2}u^{-3}\,du = 2\int u^{-3}\,du = 2\cdot\bigl(\tfrac{u^{-2}}{-2}\bigr) = -u^{-2} = -\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Somando ambas as integrais e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{x^{4} + 2x^{2} + 4x + 1}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \arctan(x) -\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} + C.

Resposta

\arctan(x) \;-\;\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} + C.

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