Encontre f_{x}, f_{y} e f_{z}.
f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z) = \bigl(x^2 + y^2 + z^2\bigr)^{-1/2}.
O conteúdo aplicado será a regra da cadeia para funções compostas em várias variáveis, onde vamos definir uma função intermediária u(x,y,z) e então derivar em relação a cada variável.

Passo 2

Definimos
u(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2,
de modo que
f(x,y,z) = u^{-1/2}.
Assim, a derivada de f em relação a u é
\frac{df}{du} = -\tfrac12\,u^{-3/2}.

Passo 3

Para \displaystyle f_x, calculamos primeiro
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2) = 2x.
Pela regra da cadeia,
f_x = \frac{df}{du}\cdot u_x = \Bigl(-\tfrac12\,u^{-3/2}\Bigr)\cdot 2x = -\,x\,u^{-3/2}.

Passo 4

Analogamente, para \displaystyle f_y temos
u_y = 2y \quad\Longrightarrow\quad f_y = \Bigl(-\tfrac12\,u^{-3/2}\Bigr)\cdot 2y = -\,y\,u^{-3/2}.

Passo 5

E para \displaystyle f_z obtemos
u_z = 2z \quad\Longrightarrow\quad f_z = \Bigl(-\tfrac12\,u^{-3/2}\Bigr)\cdot 2z = -\,z\,u^{-3/2}.

Resposta

f_x = -\,x\,(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}, \quad f_y = -\,y\,(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}, \quad f_z = -\,z\,(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}.

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