Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral 2 x^5+4 x^4+2 x^3+2 x-12 x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de primitivas de
integral 2x^5+4x^4+2x^3+2x-12x^3 ,dx
ou seja, vamos usar integração de soma de potências após simplificar a fração.

Passo 2

Simplificamos termo a termo dividindo cada parcela por 2x^3:
2x^52x^3 = x^2, 4x^42x^3 = 2x, 2x^32x^3 = 1, 2x2x^3 = x^-2, -12x^3 = -tfrac12,x^-3
Logo o integrando vira
x^2 + 2x + 1 + x^-2 - tfrac12,x^-3

Passo 3

Agora integramos cada potência segundo integral x^n,dx = x^n+1/(n+1):
integral x^2,dx = tfrac13 x^3, integral 2x,dx = x^2, integral 1,dx = x,
integral x^-2,dx = -x^-1, integral l(-tfrac12,x^-3r),dx = -tfrac12cdotx^-2-2 = tfrac14,x^-2

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante C, obtemos a família de primitivas:
F(x) = tfrac13 x^3 + x^2 + x - x^-1 + tfrac14,x^-2 + C

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = x^2 + 2x + 1 + x^-2 - tfrac12,x^-3,
que coincide com o integrando original após simplificação.

Resposta

F(x) = x^33 + x^2 + x - 1x + 14x^2 + C

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