Avalie as seguintes integrais:
integral-1^0 x^2-2 x-3(x-1)(x^2+2 x+2) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-1^0 x^2-2x-3(x-1)l(x^2+2x+2r),dx
Este é um caso de função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador, então vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Suponha
x^2-2x-3(x-1)l(x^2+2x+2r) =Ax-1+Bx+Cx^2+2x+2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+2x+2) obtemos
x^2-2x-3 =A,(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1)

Passo 3

Expandindo e comparando coeficientes em x^2, x e termo constante, vem o sistema
A + B = 1, 2A + C - B = -2, 2A - C = -3
Resolvendo, achamos
A=-tfrac45, B=tfrac95, C=tfrac75

Passo 4

Logo
x^2-2x-3(x-1)(x^2+2x+2) =-45,1x-1 +95x+75x^2+2x+2
Para integrar o segundo termo, escrevemos
9x+75 =910(2x+2)-25,
e x^2+2x+2=(x+1)^2+1. Assim a antiderivada é
-45lnl|x-1r| +910lnl(x^2+2x+2r) -25arctan(x+1)+C

Passo 5

Agora avaliamos de -1 a 0. Chamando
F(x) =-tfrac45ln|x-1| +tfrac910lnl(x^2+2x+2r) -tfrac25arctan(x+1),
temos
F(0)=0+tfrac910ln2-tfrac25cdottfracpi4 =tfrac910ln2-tfracpi10,
F(-1)=-tfrac45ln2+0-0=-tfrac45ln2
Logo
integral-1^0cdots,dx =F(0)-F(-1) =l(tfrac910ln2-tfracpi10r) - l(-tfrac45ln2r) =tfrac1710ln2-tfracpi10

Resposta

1710ln2-pi10

Exercícios relacionados