9-Por integração numérica, obtenha o potencial elétrico e campo elétrico de uma esfera densa de raio R(r<R e r>R) com densidade de carga uniforme rho=3 Q /(4 pi R^3) através de dois processos equivalentes
a) Usando como ponto de partida os resultados do item a) do problema 8 como infinitesimal
b) Usando os primeiros princípios (lei de Coulomb), isto é, use o infinitesimal de carga d q=rho d V e devido a simetria esférica d V=4 pi r^2 d r.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(r) e o campo elétrico E(r) de uma esfera sólida de raio R e carga total Q distribuída uniformemente com densidade
rho = 3Q4pi R^3,,
para as regiões interna (r<R) e externa (r>R). Vamos usar dois métodos:
a) integrar a relação diferencial dfracdVdr=-E(r) (resultado do problema 8a)
b) partir da lei de Coulomb em forma integral
V(r)=14pivarepsilon0integraldq|r-r'|,, dq=rho,dV'=rho,4pi r'^2dr',

Passo 2

Método (a): começamos com o campo já conhecido (Gauss)
E(r)= 14pivarepsilon0,Qr^2,&r>R,[1em] 14pivarepsilon0,Q,rR^3,&r<R,
e a relação
dVdr=-E(r),, V(infty)=0, ]

Passo 3

Integramos para r>R:
V(r)=-integralinfty^rE(r'),dr' =-integralinfty^r14pivarepsilon0Qr'^2dr' =14pivarepsilon0Qr,

Passo 4

Integramos para r<R fazendo V(R)=tfrac14pivarepsilon0tfracQR e
V(r)=V(R)-integralR^rE(r'),dr' =Q4pivarepsilon0R -integralR^r14pivarepsilon0Q,r'R^3dr'
=Q4pivarepsilon0R -Q4pivarepsilon0R^3,r^2-R^22 =Q8pivarepsilon0R^3(3R^2-r^2) =14pivarepsilon0Q2Rl(3-r^2R^2r)

Passo 5

Método (b): calculamos diretamente
V(r)=14pivarepsilon0integral0^Rrho,4pi r'^2|r-r'|dr'
e, por simetria, para r>R toda carga está a uma distância eficaz r, dando
V(r)=14pivarepsilon01rintegral0^Rrho,4pi r'^2dr' =14pivarepsilon0Qr
Para r<R fazemos a integral em duas partes ( r'<r e r'>r) e obtemos novamente
V(r)=14pivarepsilon0Q2Rl(3-r^2R^2r)

Passo 6

O campo interno pode obter-se por
E(r)=-dVdr ;longrightarrow; E(r)= 14pivarepsilon0Qr^2,&r>R,[1em] 14pivarepsilon0Q,rR^3,&r<R,
confirmando a coincidência dos dois métodos.]

Resposta

Para r>R:
V(r)=14pivarepsilon0Qr, E(r)=14pivarepsilon0Qr^2
Para r<R:
V(r)=14pivarepsilon0Q2Rl(3-r^2R^2r), E(r)=14pivarepsilon0Q,rR^3

Exercícios relacionados