8- Por integração, obtenha o potencial elétrico e campo elétrico de uma casca esférica de raio e com as seguintes distribuições de cargas:
a) Densidade de carga uniforme .
b) Densidade de carga não uniforme dada por , onde é o ângulo entre o vetor posição em relação ao eixo z e uma constante.
c) Para o item b) encontre o momento de dipolo e discuta fisicamente os resultados para , isto é, como se comportam os campos elétrico e potencial.
Passo 1
O enunciado pede o potencial elétrico e o campo elétrico de uma casca esférica de raio para dois casos de distribuição de carga sobre a superfície:
– (a) densidade uniforme .
– (b) densidade .
Para (a) vamos usar a Lei de Gauss para obter e depois integrar . Para (b) usaremos a solução geral de Laplace em esféricas (apenas modo aparece) e imporemos continuidade de e salto no campo radial dado por . No item (c) calcularemos o momento de dipolo e discutiremos o comportamento assintótico para .
Passo 2
Item (a): densidade uniforme . . Pela simetria esférica, em a carga total é , logo pela Lei de Gauss
Para não há carga interna, então . . O potencial tomamos e integramos radialmente
Para :
Para , como em , temos
Passo 3
Item (b): densidade . . A solução geral de Laplace em coordenadas esféricas, para a parte que depende de , é
onde vale para e para . . Continuidade de em :
. Salto do componente radial de na superfície dá
Como partialrV>=-2Bcostheta/r^3 e partialrV<=Acostheta, obtemos
2BR^3 + A = sigma0varepsilon0 Longrightarrow 2A + A = sigma0varepsilon0 Longrightarrow A = sigma03varepsilon0, B = sigma0R^33varepsilon0
Ainda em (b), o campo E=-nabla V em coordenadas esféricas:
Para r<R:
Er=-partial V<partial r =-sigma03varepsilon0costheta, Etheta=-1rpartial V<partialtheta =sigma03varepsilon0sintheta
Para r>R:
Er=-partial V>partial r =2,sigma0R^33varepsilon0;costhetar^3, Etheta=-1rpartial V>partialtheta =sigma0R^33varepsilon0;sinthetar^3
Passo 5
Item (c): momento de dipolo p.
Pela definição em superfície, p=integral r',sigma(theta),dS, com r'=Rr e dS=R^2sintheta,dtheta,dphi. O único componente não nulo é ao longo de z: