8- Por integração, obtenha o potencial elétrico e campo elétrico de uma casca esférica de raio R(r<R e r>R) com as seguintes distribuições de cargas:
a) Densidade de carga uniforme sigma=Q / 4 pi R^2.
b) Densidade de carga não uniforme dada por sigma(theta)=sigmao cos (theta), onde theta é o ângulo entre o vetor posição em relação ao eixo z e sigmao uma constante.
c) Para o item b) encontre o momento de dipolo p=integral r^prime rho(r^prime) d^3 r^prime e discuta fisicamente os resultados para r gg R, isto é, como se comportam os campos elétrico e potencial.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(r) e o campo elétrico E(r) de uma casca esférica de raio R para dois casos de distribuição de carga sobre a superfície:
– (a) densidade uniforme sigma = Q/(4pi R^2).
– (b) densidade sigma(theta)=sigma0costheta.
Para (a) vamos usar a Lei de Gauss para obter E e depois integrar E=-nabla V. Para (b) usaremos a solução geral de Laplace em esféricas (apenas modo l=1 aparece) e imporemos continuidade de V e salto no campo radial dado por sigma(theta). No item (c) calcularemos o momento de dipolo p e discutiremos o comportamento assintótico para rgg R.

Passo 2

Item (a): densidade uniforme sigma=Q/(4pi R^2).
1. Pela simetria esférica, em r>R a carga total é Q, logo pela Lei de Gauss
oint Ecdot dA = Qvarepsilon0 Longrightarrow Er(r)=Q4pivarepsilon0,r^2(r>R)
Para r<R não há carga interna, então Er(r)=0.
2. O potencial tomamos V(infty)=0 e integramos radialmente
V(r) = -integralinfty^rEr(r'),dr'
Para r>R:
V(r) = -integralinfty^rQ4pivarepsilon0 r'^2,dr' = Q4pivarepsilon0,r
Para r<R, como E=0 em (0,R), temos
V(r)=V(R)=Q4pivarepsilon0,R

Passo 3

Item (b): densidade sigma(theta)=sigma0costheta.
1. A solução geral de Laplace em coordenadas esféricas, para a parte que depende de theta, é
V<(r,theta)=A,rcostheta, V>(r,theta)=B,costhetar^2,
onde V< vale para r<R e V> para r>R.
2. Continuidade de V em r=R:
A,Rcostheta = B,costhetaR^2 Longrightarrow B = A,R^3
3. Salto do componente radial de E=-partial V/partial r na superfície dá
Er^>(R)-Er^<(R) =sigma(theta)varepsilon0 Longrightarrow -lpartialrV>r|R + lpartialrV<r|R =sigma0costhetavarepsilon0
Como partialrV>=-2Bcostheta/r^3 e partialrV<=Acostheta, obtemos
2BR^3 + A = sigma0varepsilon0 Longrightarrow 2A + A = sigma0varepsilon0 Longrightarrow A = sigma03varepsilon0, B = sigma0R^33varepsilon0
Portanto
V<(r,theta) = sigma03varepsilon0,rcostheta, V>(r,theta) = sigma0R^33varepsilon0;costhetar^2

Passo 4

Ainda em (b), o campo E=-nabla V em coordenadas esféricas:
Para r<R:
Er=-partial V<partial r =-sigma03varepsilon0costheta, Etheta=-1rpartial V<partialtheta =sigma03varepsilon0sintheta
Para r>R:
Er=-partial V>partial r =2,sigma0R^33varepsilon0;costhetar^3, Etheta=-1rpartial V>partialtheta =sigma0R^33varepsilon0;sinthetar^3

Passo 5

Item (c): momento de dipolo p.
Pela definição em superfície, p=integral r',sigma(theta),dS, com r'=Rr e dS=R^2sintheta,dtheta,dphi. O único componente não nulo é ao longo de z:
pz = R^3sigma0integral0^2pi!!integral0^picostheta,costheta,sintheta,dtheta,dphi = 2pisigma0R^3integral-1^1u^2,du =4pisigma0R^33
Logo
p = 4pisigma0R^33,z
Para rgg R, apenas o termo dipolar sobrevive no potencial e campo:
V(r,theta)approx 14pivarepsilon0;pcdotrr^2, E(r,theta)approx 14pivarepsilon0 1r^3l[3(pcdotr)r-pr]
Fisicamente, a casca age como um dipolo de momento p, decaindo como 1/r^2 em V e 1/r^3 em E.

Resposta

(a)
V(r)= dfracQ4pivarepsilon0R,&r<R,[1em] dfracQ4pivarepsilon0r,&r>R, , E(r)= 0,&r<R,[0.5em] dfracQ4pivarepsilon0r^2;r,&r>R
(b)
V(r,theta)= dfracsigma03varepsilon0,rcostheta,&r<R,[0.5em] dfracsigma0R^33varepsilon0;dfraccosthetar^2,&r>R,
Er= -dfracsigma03varepsilon0costheta,[0.5em] 2,dfracsigma0R^33varepsilon0;dfraccosthetar^3, , Etheta= dfracsigma03varepsilon0sintheta,[0.5em] dfracsigma0R^33varepsilon0;dfracsinthetar^3,
com as partes acima válidas em r<R (linha de cima) e r>R (linha de baixo).
(c)
p=4pisigma0R^33,z,
e para rgg R o potencial e campo se comportam como de um dipolo:
Vsim14pivarepsilon0pcdotrr^2, , Esim14pivarepsilon01r^3 l[3(pcdotr)r-pr] ]

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