7-Seja um anel de raio R no plano xy com uma carga total Q distribuída uniformemente. Calcule o campo elétrico no ponto (de<a, 0, z), e para de<a ll R, z encontre uma expansão até segunda ordem na potência de<a (expansão binomial) para as componentes deste campo. Certifique que no limite de de<a=0 o seu resultado reduz-se ao caso particular do campo elétrico sobre o eixo de simetria.

Passo 1

O enunciado dá um anel de raio R no plano xy carregado com carga total Q distribuída uniformemente. Queremos o campo elétrico em (de<a,0,z) e, no regime de<all R,z, expandir até segunda ordem em de<a. Vamos usar a lei de Coulomb e depois uma expansão binomial em potências de de<a.

Passo 2

Escolhemos coordenadas polares no anel: um elemento de carga é
dq = lambda,R,dphi, lambda = Q2pi R,
e o vetor do ponto de observação r=(de<a,0,z) até um ponto do anel r'=(Rcosphi,Rsinphi,0) é
r - r' = (de<a - Rcosphi,; -Rsinphi,; z),
com
| r- r'|^2 = R^2 + z^2 + de<a^2 -2Rde<acosphi
Pela lei de Coulomb,
d E = 14pivarepsilon0,dq,( r- r')| r- r'|^3

Passo 3

Por simetria Ey=0. As componentes restantes são
Ex = lambda R4pivarepsilon0 integral0^2pi!(de<a - Rcosphi)l[R^2+z^2+de<a^2-2Rde<acosphir]^-3/2dphi,
Ez = lambda R4pivarepsilon0 integral0^2pi!z;l[R^2+z^2+de<a^2-2Rde<acosphir]^-3/2dphi

Passo 4

Para de<all R,z definimos A=R^2+z^2 e escrevemos
l[A+de<a^2-2Rde<acosphir]^-3/2 =A^-3/2l[1+de<a^2-2Rde<acosphiAr]^-3/2
Usamos a expansão binomial
(1+varepsilon)^-3/2approx 1-tfrac32varepsilon+tfrac158varepsilon^2, varepsilon=de<a^2-2Rde<acosphiA,
e integramos termo a termo até O(de<a^2). O cálculo leva a
Ex = Q,de<a,(2z^2-R^2)8pivarepsilon0,(R^2+z^2)^5/2 + O(de<a^3)

Passo 5

De modo análogo para Ez expande-se
Ez = lambda R,z4pivarepsilon0,A^-3/2 integral0^2pi!l[1-tfrac32varepsilon+tfrac158varepsilon^2r]dphi
até O(de<a^2). O resultado é
Ez = Q,z4pivarepsilon0,(R^2+z^2)^3/2 l[1+3,(3R^2-2z^2)4,(R^2+z^2)^2,de<a^2r]+O(de<a^4)

Passo 6

No limite de<ato0 as correções em de<a desaparecem e ficamos com
Ex=0, Ez=Q,z4pivarepsilon0,(R^2+z^2)^3/2,
que é justamente o campo no eixo de simetria do anel.

Resposta

Ex = Q,de<a,(2z^2-R^2)8pivarepsilon0,(R^2+z^2)^5/2, Ey=0,
Ez = Q,z4pivarepsilon0,(R^2+z^2)^3/2 l[1+3,(3R^2-2z^2)4,(R^2+z^2)^2,de<a^2r]

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