7-Seja um anel de raio
no plano xy com uma carga total
distribuída uniformemente. Calcule o campo elétrico no ponto
, e para
encontre uma expansão até segunda ordem na potência
(expansão binomial) para as componentes deste campo. Certifique que no limite de
o seu resultado reduz-se ao caso particular do campo elétrico sobre o eixo de simetria.
Passo 1
O enunciado dá um anel de raio
no plano
carregado com carga total
distribuída uniformemente. Queremos o campo elétrico em
e, no regime
, expandir até segunda ordem em
. Vamos usar a lei de Coulomb e depois uma expansão binomial em potências de
.
Passo 2
Escolhemos coordenadas polares no anel: um elemento de carga é
e o vetor do ponto de observação
até um ponto do anel
é
com
Pela lei de Coulomb,
Passo 3
Por simetria
. As componentes restantes são
Passo 4
Para
definimos
e escrevemos
Usamos a expansão binomial
e integramos termo a termo até
. O cálculo leva a
Passo 5
De modo análogo para
expande-se
até
. O resultado é
Passo 6
No limite
as correções em
desaparecem e ficamos com
que é justamente o campo no eixo de simetria do anel.