Integração por partes
Calcule a integral
◯
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◯
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- Intervalo de integração:
. - Função a integrar:
. - Objetivo: obter o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, a fórmula e o que cada termo significa:
Aqui:
-
é uma função que escolhemos e é a sua diferencial ( ). -
é o restante do integrando e é uma primitiva de , ou seja .
Dica prática (heurística): quando o integrando é produto de polinômio por exponencial, escolher
como o polinômio costuma ser conveniente, porque ao derivar o polinômio o grau diminui.
Passo 3
Aplicando a heurística ao nosso caso, escolhemos
Calculamos
e
:
Agora aplicamos a fórmula:
Simplificando o sinal:
Passo 4
Precisamos calcular
. Aplicamos integração por partes de novo, com
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Ou, reunindo:
Passo 5
Substituímos essa primitiva na expressão obtida no Passo 3:
Fazendo a soma dentro do fator:
Portanto uma primitiva (antiderivada) é
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida usando
:
Calculamos
e
:
Para
:
logo
Portanto