Integração por partes
Calcule a integral \int_{-1}^{0}\left(x^{2}+1\right) e^{-x} d x
3-\frac{6}{e}
-3+2 e
\frac{-11+6 e}{e^{2}}
-\frac{6}{e}+2 e
3-\frac{11}{e^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-1}^{0}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx.
Informações dadas:
  • Intervalo de integração: [-1,0].
  • Função a integrar: \left(x^{2}+1\right)e^{-x}.
  • Objetivo: obter o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, a fórmula e o que cada termo significa:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos e du é a sua diferencial ( du = u' dx).
  • dv é o restante do integrando e v é uma primitiva de dv, ou seja v=\int dv.
Dica prática (heurística): quando o integrando é produto de polinômio por exponencial, escolher u como o polinômio costuma ser conveniente, porque ao derivar o polinômio o grau diminui.

Passo 3

Aplicando a heurística ao nosso caso, escolhemos
u = x^{2}+1,\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Calculamos du e v:
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Agora aplicamos a fórmula:
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = -(x^{2}+1)e^{-x} - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\cdot 2x\,dx.
Simplificando o sinal:
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx = -(x^{2}+1)e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.

Passo 4

Precisamos calcular \int x e^{-x}\,dx. Aplicamos integração por partes de novo, com
u = x,\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = -x e^{-x} - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx.
Simplificando:
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C.
Ou, reunindo:
\int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + C.

Passo 5

Substituímos essa primitiva na expressão obtida no Passo 3:
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx = -(x^{2}+1)e^{-x} + 2\bigl(-(x+1)e^{-x}\bigr) + C.
Fazendo a soma dentro do fator:
-(x^{2}+1)e^{-x} -2(x+1)e^{-x} = -(x^{2}+2x+3)e^{-x}.
Portanto uma primitiva (antiderivada) é
F(x)=-(x^{2}+2x+3)e^{-x}+C.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida usando F:
\int_{-1}^{0}(x^{2}+1)e^{-x}\,dx = F(0)-F(-1).
Calculamos F(0) e F(-1):
F(0)=-(0^{2}+2\cdot0+3)e^{0}= -3.
Para x=-1:
x^{2}+2x+3 = 1-2+3 = 2,\qquad e^{-(-1)}=e^{1}=e,
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F(-1)= -2e.
Portanto
\int_{-1}^{0}(x^{2}+1)e^{-x}\,dx = F(0)-F(-1) = -3 - (-2e) = -3 + 2e.

Resposta

-3+2 e

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