Questão 3. Calcule a integral definida:
\int_{0}^{3} x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{3} x^{2} e^{x}\,dx.
Informações fornecidas:
  • O integrando é x^{2} e^{x}.
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=3.
  • É uma integral definida (queremos um número como resposta).

Passo 2

Escolha do método e por quê (sem resolver ainda).
Vou usar a técnica de integração por partes. A fórmula básica é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas do integrando, du é a derivada de u e v é uma primitiva de dv.
Motivo da escolha: quando o integrando é produto de um polinômio (como x^{2}) por uma exponencial ( e^{x}), é eficiente escolher u como o polinômio (porque sua derivada diminui o grau: x^{2}\to 2x\to 2) e dv como e^{x}dx (porque integrar e^{x} é simples: \int e^{x}dx=e^{x}). Assim o processo reduz o polinômio passo a passo até algo direto de calcular.

Passo 3

Aplicando integração por partes uma primeira vez.
Escolho
u = x^{2},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Pela fórmula,
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2} e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.
Agora faltou calcular \int x e^{x}\,dx.

Passo 4

Calcular \int x e^{x}\,dx (segunda aplicação de partes, detalhada).
Escolho agora
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx,
logo
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Pela fórmula,
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Podemos fatorar e^{x}:
\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1).

Passo 5

Retornar à integral original e simplificar o antiderivado.
Substituindo na expressão do Passo 3:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2\bigl[e^{x}(x-1)\bigr] + C.
Distribuindo e simplificando:
\int x^{2} e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.
Portanto uma primitiva (função antiderivada) é
F(x) = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr).

Passo 6

Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
Pela regra de Barrow,
\int_{0}^{3} x^{2} e^{x}\,dx = F(3)-F(0),
onde F(x)=e^{x}(x^{2}-2x+2).
Calcule F(3):
F(3)=e^{3}\bigl(3^{2}-2\cdot3+2\bigr)=e^{3}\bigl(9-6+2\bigr)=e^{3}\cdot 5=5e^{3}.
Calcule F(0):
F(0)=e^{0}\bigl(0^{2}-2\cdot 0+2\bigr)=1\cdot 2=2.
Assim
\int_{0}^{3} x^{2} e^{x}\,dx = 5e^{3}-2.

Resposta

5e^{3}-2

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