Questão 3. Calcule a integral definida:
\int_{0}^{3} x^{2} e^{x} d x
\int_{0}^{3} x^{2} e^{x} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações fornecidas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - É uma integral definida (queremos um número como resposta).
Passo 2
Escolha do método e por quê (sem resolver ainda).
Vou usar a técnica de integração por partes. A fórmula básica é
Vou usar a técnica de integração por partes. A fórmula básica é
onde
e
são partes escolhidas do integrando,
é a derivada de
e
é uma primitiva de
.
Motivo da escolha: quando o integrando é produto de um polinômio (como
) por uma exponencial (
), é eficiente escolher
como o polinômio (porque sua derivada diminui o grau:
) e
como
(porque integrar
é simples:
). Assim o processo reduz o polinômio passo a passo até algo direto de calcular.
Passo 3
Aplicando integração por partes uma primeira vez.
Escolho
Escolho
Então
Pela fórmula,
Agora faltou calcular
.
Passo 4
Calcular
(segunda aplicação de partes, detalhada).
Escolho agora
Escolho agora
logo
Pela fórmula,
Podemos fatorar
:
Passo 5
Retornar à integral original e simplificar o antiderivado.
Substituindo na expressão do Passo 3:
Substituindo na expressão do Passo 3:
Distribuindo e simplificando:
Portanto uma primitiva (função antiderivada) é
Passo 6
Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
Pela regra de Barrow,
Pela regra de Barrow,
onde
.
Calcule
:
Calcule
:
Assim