Com as letras
quantas palavras (com ou sem sentido) de 6 letras distintas podem ser formadas, usando-se 3 vogais e 3 consoantes?
Passo 1
O enunciado pede: formar “palavras” de 6 letras distintas (ordem importa), escolhendo as letras do conjunto
e usando exatamente 3 vogais e 3 consoantes.
Informações dadas e relevantes:
Informações dadas e relevantes:
- Letras disponíveis:
letras ao todo. - Vogais disponíveis:
(ou seja, vogais). - Consoantes disponíveis:
(ou seja, consoantes). - Cada palavra tem
letras distintas e deve conter exatamente vogais e consoantes. - Importante: a ordem das letras na palavra importa (por exemplo,
é diferente de ).
Passo 2
Plano de contagem (regra do produto): primeiro escolhemos quais
vogais serão usadas, depois quais
consoantes serão usadas, e por fim permutamos as
letras escolhidas em todas as ordens possíveis. Pelo princípio multiplicativo, o total é:
Passo 3
Como contar as maneiras de escolher
vogais entre as
disponíveis? Usamos combinação sem ordem:
é o número de formas de escolher
elementos de um conjunto de
sem considerar a ordem, dado por
onde
(fatorial) significa
. Assim,
Portanto há
escolhas diferentes de subconjunto com
vogais.
Passo 4
Agora escolher
consoantes entre as
disponíveis. Novamente usamos combinação:
Portanto existem
escolhas diferentes de subconjunto com
consoantes.
Passo 5
Tendo escolhido os
caracteres (3 vogais + 3 consoantes), agora precisamos contá-los em todas as ordens possíveis. O número de permutações de
elementos distintos é
Isso porque para a primeira posição há
opções, para a segunda
, e assim por diante.
Passo 6
Aplicando o plano do Passo 2 e multiplicando os resultados:
Calcule passo a passo:
Passo 7
Breve verificação mental: escolhemos subconjuntos (contagem combinatória) e depois permutamos (contagem permutacional). As contas são pequenas e consistentes:
escolhas de vogais,
de consoantes, cada escolha dá
palavras distintas — portanto
é plausível.