Com as letras a, e, i, o, b, c, d, f, g quantas palavras (com ou sem sentido) de 6 letras distintas podem ser formadas, usando-se 3 vogais e 3 consoantes?

Passo 1

O enunciado pede: formar “palavras” de 6 letras distintas (ordem importa), escolhendo as letras do conjunto \{a,e,i,o,b,c,d,f,g\} e usando exatamente 3 vogais e 3 consoantes.
Informações dadas e relevantes:
  • Letras disponíveis: 9 letras ao todo.
  • Vogais disponíveis: a,e,i,o (ou seja, 4 vogais).
  • Consoantes disponíveis: b,c,d,f,g (ou seja, 5 consoantes).
  • Cada palavra tem 6 letras distintas e deve conter exatamente 3 vogais e 3 consoantes.
  • Importante: a ordem das letras na palavra importa (por exemplo, abcefd é diferente de bacefd).

Passo 2

Plano de contagem (regra do produto): primeiro escolhemos quais 3 vogais serão usadas, depois quais 3 consoantes serão usadas, e por fim permutamos as 6 letras escolhidas em todas as ordens possíveis. Pelo princípio multiplicativo, o total é:
\text{(nº modos de escolher vogais)} \times \text{(nº modos de escolher consoantes)} \times \text{(nº modos de ordenar as 6 letras)}.ººº

Passo 3

Como contar as maneiras de escolher 3 vogais entre as 4 disponíveis? Usamos combinação sem ordem: \binom{n}{k} é o número de formas de escolher k elementos de um conjunto de n sem considerar a ordem, dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Assim,
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!1!}=\frac{4\cdot3!}{3!\cdot1}=4.
Portanto há 4 escolhas diferentes de subconjunto com 3 vogais.

Passo 4

Agora escolher 3 consoantes entre as 5 disponíveis. Novamente usamos combinação:
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2\cdot1}=\frac{5\cdot4}{2}=10.
Portanto existem 10 escolhas diferentes de subconjunto com 3 consoantes.

Passo 5

Tendo escolhido os 6 caracteres (3 vogais + 3 consoantes), agora precisamos contá-los em todas as ordens possíveis. O número de permutações de 6 elementos distintos é
6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720.
Isso porque para a primeira posição há 6 opções, para a segunda 5, e assim por diante.

Passo 6

Aplicando o plano do Passo 2 e multiplicando os resultados:
\text{total}=\binom{4}{3}\times\binom{5}{3}\times6! = 4\times10\times720.
Calcule passo a passo:
10\times720=7200,
4\times7200=28800.

Passo 7

Breve verificação mental: escolhemos subconjuntos (contagem combinatória) e depois permutamos (contagem permutacional). As contas são pequenas e consistentes: 4 escolhas de vogais, 10 de consoantes, cada escolha dá 720 palavras distintas — portanto 28800 é plausível.

Resposta

28800

Exercícios relacionados