Integração por partes
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função integrada é
. - A integral é indefinida, então o resultado deve ter uma constante de integração
. - Deve-se lembrar que o logaritmo natural exige
; por isso usaremos quando for preciso indicar domínio.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicando de modo didático): a fórmula de integração por partes, que é uma versão do produto derivado/integrado. A fórmula é
Aqui:
-
é uma função que escolhemos para derivar (pois sua derivada é mais simples que ); -
é a parte que escolhemos para integrar (pois sua integral precisamos saber); -
é o diferencial de , isto é ; -
é a primitiva de , ou seja .
Como escolher
e
? Regra prática (simples): escolha
como a parte que fica mais simples ao derivar. No nosso caso
fica muito mais simples quando derivada, então escolhemos:
Passo 3
Calcular
e
passo a passo:
- Derivada de
: usar a regra da cadeia. A derivada de é e aqui , cuja derivada é . Logo
- Integral de
: como ,
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Agora temos que calcular
. Vamos simplificar essa fração de forma algébrica: escrevemos
como
, então
Passo 5
Substituindo a decomposição na integral:
Calcule cada uma:
Portanto
Voltando para a expressão principal:
Passo 6
Simplificar a expressão final (explicando a manipulação): juntando os termos com logaritmo obtemos
Então a integral fica
Observação sobre constantes: se você preferir, outra forma equivalente é
; ambas diferem apenas por uma constante e são corretas.
Passo 7
Verificação alternativa (curta) por substituição para reforçar a ideia: faça
. Então
e a integral vira
. Sabemos a primitiva
Voltando a
:
dá
, que é equivalente à resposta do passo anterior (absorvendo constantes). Isso confirma que está correto.