Integração por partes
\int \ln (x-1) d x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \ln(x-1)\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função integrada é \ln(x-1).
  • A integral é indefinida, então o resultado deve ter uma constante de integração C.
  • Deve-se lembrar que o logaritmo natural exige x\neq 1; por isso usaremos \ln|x-1| quando for preciso indicar domínio.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicando de modo didático): a fórmula de integração por partes, que é uma versão do produto derivado/integrado. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (pois sua derivada du é mais simples que u);
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (pois sua integral v precisamos saber);
  • du é o diferencial de u, isto é du = u'(x)\,dx;
  • v é a primitiva de dv, ou seja v = \int dv.
Como escolher u e dv? Regra prática (simples): escolha u como a parte que fica mais simples ao derivar. No nosso caso \ln(x-1) fica muito mais simples quando derivada, então escolhemos:
u = \ln(x-1),\qquad dv = dx.

Passo 3

Calcular du e v passo a passo:
  • Derivada de u: usar a regra da cadeia. A derivada de \ln(t) é 1/t e aqui t=x-1, cuja derivada é 1. Logo
du = \frac{1}{x-1}\,dx.
  • Integral de dv: como dv=dx,
v = \int dx = x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \ln(x-1)\,dx = uv - \int v\,du = x\ln(x-1) - \int x\cdot\frac{1}{x-1}\,dx.
Agora temos que calcular \int \dfrac{x}{x-1}\,dx. Vamos simplificar essa fração de forma algébrica: escrevemos x como (x-1)+1, então
\frac{x}{x-1} = \frac{(x-1)+1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1}.

Passo 5

Substituindo a decomposição na integral:
\int x\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = \int\left(1 + \frac{1}{x-1}\right)dx = \int 1\,dx + \int \frac{1}{x-1}\,dx.
Calcule cada uma:
\int 1\,dx = x,\qquad \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\lvert x-1\rvert.
Portanto
\int x\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = x + \ln\lvert x-1\rvert.
Voltando para a expressão principal:
\int \ln(x-1)\,dx = x\ln(x-1) - \bigl(x + \ln\lvert x-1\rvert\bigr) + C.

Passo 6

Simplificar a expressão final (explicando a manipulação): juntando os termos com logaritmo obtemos
x\ln(x-1) - \ln\lvert x-1\rvert = (x-1)\ln\lvert x-1\rvert.
Então a integral fica
\int \ln(x-1)\,dx = (x-1)\ln\lvert x-1\rvert - x + C.
Observação sobre constantes: se você preferir, outra forma equivalente é (x-1)\ln\lvert x-1\rvert - (x-1) + C'; ambas diferem apenas por uma constante e são corretas.

Passo 7

Verificação alternativa (curta) por substituição para reforçar a ideia: faça t=x-1. Então dt=dx e a integral vira \int \ln t\,dt. Sabemos a primitiva
\int \ln t\,dt = t\ln t - t + C.
Voltando a x: t=x-1 (x-1)\ln\lvert x-1\rvert - (x-1) + C, que é equivalente à resposta do passo anterior (absorvendo constantes). Isso confirma que está correto.

Resposta

(x-1)\ln\lvert x-1\rvert - x + C

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