Integração por partes
\int e^{2 x} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int e^{2x}\,\sin(x)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é o produto de uma exponencial e^{2x} e a função trigonométrica \sin(x). Queremos uma primitiva (ou seja, a expressão geral que ao derivar dá e^{2x}\sin(x)), portanto devemos inserir uma constante de integração no final.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal — fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (aparecerá du),
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (aparecerá v),
  • du é a derivada de u vezes dx,
  • v é uma primitiva de dv.
Regra prática (lembrete amigo): escolha u de forma que ficar mais simples ao derivar; escolha dv de forma que você saiba integrar facilmente.

Passo 3

Escolha das partes. Vou definir
u = \sin(x),\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Agora calculamos du e v:
  • Derivando u: du = \cos(x)\,dx.
  • Integrando dv: como \displaystyle \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}, temos
v = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes com esses u,dv:
\int e^{2x}\sin(x)\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int e^{2x}\sin(x)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(x) - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x)\,dx.
Para simplificar a escrita, defino
I=\int e^{2x}\sin(x)\,dx,\qquad J=\int e^{2x}\cos(x)\,dx.
Então a relação acima fica
I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(x) - \frac{1}{2}J.

Passo 5

Agora calculamos J com integração por partes também. Escolho
u=\cos(x),\qquad dv=e^{2x}\,dx.
Então
du=-\sin(x)\,dx,\qquad v=\frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando a fórmula:
J = uv - \int v\,du = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) - \int \frac{1}{2}e^{2x}(-\sin(x))\,dx.
Isso simplifica para
J = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{2}\int e^{2x}\sin(x)\,dx.
Em termos de I,
J = \frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{2}I.

Passo 6

Voltamos à relação do Passo 4 e substituímos J:
I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(x) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos(x) + \frac{1}{2}I\right).
Desenvolvendo os parênteses:
I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(x) - \frac{1}{4}e^{2x}\cos(x) - \frac{1}{4}I.
Agora isolamos I em um lado. Somando \tfrac{1}{4}I aos dois lados:
I + \frac{1}{4}I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(x) - \frac{1}{4}e^{2x}\cos(x).
Isso dá
\frac{5}{4}I = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}\sin(x)-\frac{1}{4}\cos(x)\right).
Fatorando \tfrac{1}{4} no lado direito:
\frac{5}{4}I = \frac{1}{4}e^{2x}\bigl(2\sin(x)-\cos(x)\bigr).
Multiplicando ambos os lados por \tfrac{4}{5} para resolver para I:
I = \frac{1}{5}e^{2x}\bigl(2\sin(x)-\cos(x)\bigr).

Passo 7

Adicionamos constant e verificamos rapidamente (cheque útil na prova). A primitiva geral é
\int e^{2x}\sin(x)\,dx = \frac{1}{5}e^{2x}\bigl(2\sin(x)-\cos(x)\bigr) + C.
Se você derivar essa expressão (produto e regra da cadeia), vai obter e^{2x}\sin(x) — portanto está correta. Bom trabalho: você venceu o ciclo de duas integrações por partes e a equação linear em I!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{2x}\bigl(2\sin(x)-\cos(x)\bigr)+C

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