Integração por partes
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é o produto de uma exponencial
e a função trigonométrica
. Queremos uma primitiva (ou seja, a expressão geral que ao derivar dá
), portanto devemos inserir uma constante de integração no final.
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal — fórmula de integração por partes. A fórmula é
onde:
-
é uma função que escolhemos para derivar (aparecerá ), -
é a parte que escolhemos para integrar (aparecerá ), -
é a derivada de vezes , -
é uma primitiva de .
Regra prática (lembrete amigo): escolha
de forma que ficar mais simples ao derivar; escolha
de forma que você saiba integrar facilmente.
Passo 3
Escolha das partes. Vou definir
Agora calculamos
e
:
- Derivando
: . - Integrando
: como , temos
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes com esses
:
Substituindo
:
Para simplificar a escrita, defino
Então a relação acima fica
Passo 5
Agora calculamos
com integração por partes também. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
Isso simplifica para
Em termos de
,
Passo 6
Voltamos à relação do Passo 4 e substituímos
:
Desenvolvendo os parênteses:
Agora isolamos
em um lado. Somando
aos dois lados:
Isso dá
Fatorando
no lado direito:
Multiplicando ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 7
Adicionamos constant e verificamos rapidamente (cheque útil na prova). A primitiva geral é
Se você derivar essa expressão (produto e regra da cadeia), vai obter
— portanto está correta. Bom trabalho: você venceu o ciclo de duas integrações por partes e a equação linear em
!