O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x+3}}{x-1}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função integranda é \dfrac{\sqrt{x+3}}{x-1}.
Para que \sqrt{x+3} seja real precisamos de x+3\ge 0, ou seja x\ge -3.
O denominador não pode ser zero, então x\neq 1.
A resposta será uma primitiva (integral indefinida), portanto virá acompanhada de uma constante de integração C.
Passo 2
Ideia inicial (apenas explicação do que vamos manipular agora): a raiz \sqrt{x+3} sugere fazer uma substituição que transforme a raiz em uma variável simples. Vamos definir uma nova variável que “desfaz” a raiz: seja
t=\sqrt{x+3}.
Agora explico o que isso implica: se t=\sqrt{x+3} então t\ge 0 (para a escolha principal da raiz) e elevando ao quadrado obtemos
t^{2}=x+3.
Isolando x obtemos
x=t^{2}-3.
Passo 3
Cálculo do diferencial dx em função de t: derivando x=t^{2}-3 em relação a t vem
dx = 2t\,dt.
Também substituímos a raiz diretamente: \sqrt{x+3}=t. Substituímos tudo na integral original:
Simplificar a expressão racional \dfrac{2t^{2}}{t^{2}-4} para integrá-la mais facilmente. A técnica é dividir o numerador pelo denominador (ou reescrever como soma de termos mais simples):
Somando as partes (absorvendo constantes em uma só C) obtemos a primitiva em t:
2t + 2\ln\left|\frac{t-2}{t+2}\right| + C.
Passo 8
Voltar à variável original x. Lembrando que fizemos t=\sqrt{x+3}, substituímos:
2t + 2\ln\left|\frac{t-2}{t+2}\right| + C = 2\sqrt{x+3} + 2\ln\left|\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+3}+2}\right| + C.
Observação sobre os módulos: como \sqrt{x+3}\ge 0, os argumentos das funções logarítmicas ficam bem definidos exceto quando \sqrt{x+3}\pm 2=0 (que correspondem a pontos onde a decomposição teve singularidades, isto é t=\pm2\Rightarrow x+3=4 ou x=1, que já sabemos ser proibido porque o integrando tinha denominador zero). Portanto a expressão com o valor absoluto é a forma correta da primitiva geral.