\int \frac{\sqrt{x+3}}{x-1} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x+3}}{x-1}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \dfrac{\sqrt{x+3}}{x-1}.
  • Para que \sqrt{x+3} seja real precisamos de x+3\ge 0, ou seja x\ge -3.
  • O denominador não pode ser zero, então x\neq 1.
  • A resposta será uma primitiva (integral indefinida), portanto virá acompanhada de uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia inicial (apenas explicação do que vamos manipular agora): a raiz \sqrt{x+3} sugere fazer uma substituição que transforme a raiz em uma variável simples. Vamos definir uma nova variável que “desfaz” a raiz: seja
t=\sqrt{x+3}.
Agora explico o que isso implica: se t=\sqrt{x+3} então t\ge 0 (para a escolha principal da raiz) e elevando ao quadrado obtemos
t^{2}=x+3.
Isolando x obtemos
x=t^{2}-3.

Passo 3

Cálculo do diferencial dx em função de t: derivando x=t^{2}-3 em relação a t vem
dx = 2t\,dt.
Também substituímos a raiz diretamente: \sqrt{x+3}=t. Substituímos tudo na integral original:
\int \frac{\sqrt{x+3}}{x-1}\,dx = \int \frac{t}{(t^{2}-3)-1}\cdot (2t\,dt).
Simplificando o denominador (t^{2}-3)-1=t^{2}-4, obtemos a integral em t:
\int \frac{t}{t^{2}-4}\cdot 2t\,dt = \int \frac{2t^{2}}{t^{2}-4}\,dt.

Passo 4

Simplificar a expressão racional \dfrac{2t^{2}}{t^{2}-4} para integrá-la mais facilmente. A técnica é dividir o numerador pelo denominador (ou reescrever como soma de termos mais simples):
\frac{2t^{2}}{t^{2}-4} = 2\cdot\frac{t^{2}-4+4}{t^{2}-4} = 2\left(1 + \frac{4}{t^{2}-4}\right).
Distribuindo o 2,
\frac{2t^{2}}{t^{2}-4} = 2 + \frac{8}{t^{2}-4}.
Assim a integral vira
\int \left(2 + \frac{8}{t^{2}-4}\right) dt = \int 2\,dt + 8\int \frac{1}{t^{2}-4}\,dt.

Passo 5

Agora precisamos integrar \dfrac{1}{t^{2}-4}\). Observação: \(t^{2}-4=(t-2)(t+2)\), produto de fatores lineares distintos, então usamos frações parciais. Procuramos constantes \(A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{t^{2}-4} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t+2}.
Multiplicando ambos os lados por (t-2)(t+2) obtemos
1 = A(t+2) + B(t-2) = (A+B)t + (2A-2B).
Comparando coeficientes do polinômio em t temos o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] 2A-2B = 1. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda: \(2A-2(-A)=4A=1, logo A=\dfrac{1}{4} e B=-\dfrac{1}{4}.]

Passo 6

Substituindo os valores de A e B obtemos a decomposição:
\frac{1}{t^{2}-4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{t-2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{t+2}.
Portanto
8\int \frac{1}{t^{2}-4}\,dt = 8\cdot\frac{1}{4}\int\left(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t+2}\right)dt = 2\int\left(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t+2}\right)dt.

Passo 7

Integramos termo a termo, lembrando que \int \dfrac{1}{t-a}\,dt = \ln|t-a| + C. Assim
\int 2\,dt = 2t + C_1
e
2\int\left(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t+2}\right)dt = 2\big(\ln|t-2| - \ln|t+2|\big) + C_2.
Somando as partes (absorvendo constantes em uma só C) obtemos a primitiva em t:
2t + 2\ln\left|\frac{t-2}{t+2}\right| + C.

Passo 8

Voltar à variável original x. Lembrando que fizemos t=\sqrt{x+3}, substituímos:
2t + 2\ln\left|\frac{t-2}{t+2}\right| + C = 2\sqrt{x+3} + 2\ln\left|\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+3}+2}\right| + C.
Observação sobre os módulos: como \sqrt{x+3}\ge 0, os argumentos das funções logarítmicas ficam bem definidos exceto quando \sqrt{x+3}\pm 2=0 (que correspondem a pontos onde a decomposição teve singularidades, isto é t=\pm2\Rightarrow x+3=4 ou x=1, que já sabemos ser proibido porque o integrando tinha denominador zero). Portanto a expressão com o valor absoluto é a forma correta da primitiva geral.

Resposta

2\sqrt{x+3}+2\ln\left|\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+3}+2}\right|+C

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