\int x^{2} \sqrt{1+x} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função x^{2}\sqrt{1+x}, ou seja encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}\sqrt{1+x}.\n
Informações dadas e observações importantes:
  • A integral a calcular é \displaystyle \int x^{2}\sqrt{1+x}\,dx.
  • O radicando \sqrt{1+x} exige normalmente 1+x\ge 0, ou seja o domínio natural de integração é x>-1 (podemos trabalhar simbolicamente e acrescentar constante de integração no final).
  • Nenhuma outra condição foi dada (é uma integral indefinida).

Passo 2

Escolha do método e substituição: uma boa ideia é simplificar a raiz transformando-a numa potência com expoente racional. Para isso fazemos a substituição
u=1+x.
Aqui u é uma nova variável que representa o argumento da raiz; com essa escolha temos
du=dx
porque d(1+x)=dx. Além disso, precisamos escrever x^{2} em função de u; como x=u-1 temos
x^{2}=(u-1)^{2}.
Agora trocamos tudo na integral original.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u: substituindo x^{2}=(u-1)^{2}, \sqrt{1+x}=\sqrt{u}=u^{1/2} e dx=du, obtemos
\int x^{2}\sqrt{1+x}\,dx=\int (u-1)^{2}u^{1/2}\,du.
Expandimos (u-1)^{2}:
(u-1)^{2}=u^{2}-2u+1.
Multiplicando por u^{1/2} termo a termo:
(u^{2}-2u+1)u^{1/2}=u^{2}u^{1/2}-2u\,u^{1/2}+1\cdot u^{1/2}=u^{5/2}-2u^{3/2}+u^{1/2}.
Portanto a integral fica
\int \bigl(u^{5/2}-2u^{3/2}+u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integração termo a termo usando a regra da potência: a regra é
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\neq -1),
ou seja somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente.
Aplicamos para cada termo:
  1. Para u^{5/2}: aqui n=\tfrac{5}{2}, então
\int u^{5/2}\,du=\frac{u^{7/2}}{7/2}=\frac{2}{7}u^{7/2}.
  1. Para -2u^{3/2}: o coeficiente -2 sai da integral e com n=\tfrac{3}{2} temos
\int -2u^{3/2}\,du=-2\cdot\frac{u^{5/2}}{5/2}=-2\cdot\frac{2}{5}u^{5/2}=-\frac{4}{5}u^{5/2}.
  1. Para u^{1/2}: com n=\tfrac{1}{2},
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva em função de u:
\frac{2}{7}u^{7/2}-\frac{4}{5}u^{5/2}+\frac{2}{3}u^{3/2}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x usando u=1+x: substituímos u por 1+x em cada termo. Assim a primitiva procurada é
\frac{2}{7}(1+x)^{7/2}-\frac{4}{5}(1+x)^{5/2}+\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}+C.
Se quiser, dá para checar diferenciando esse resultado: usando a regra da cadeia cada termo produzirá potências que somam e reduzem exatamente para x^{2}\sqrt{1+x}. Vai dar certo — confia, você seguiu todos os passos corretos.

Resposta

\frac{2}{7}(1+x)^{7/2}-\frac{4}{5}(1+x)^{5/2}+\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}+C

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