Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função
, ou seja encontrar uma função
tal que
.\n
Informações dadas e observações importantes:
Informações dadas e observações importantes:
- A integral a calcular é
. - O radicando
exige normalmente , ou seja o domínio natural de integração é (podemos trabalhar simbolicamente e acrescentar constante de integração no final). - Nenhuma outra condição foi dada (é uma integral indefinida).
Passo 2
Escolha do método e substituição: uma boa ideia é simplificar a raiz transformando-a numa potência com expoente racional. Para isso fazemos a substituição
Aqui
é uma nova variável que representa o argumento da raiz; com essa escolha temos
porque
. Além disso, precisamos escrever
em função de
; como
temos
Agora trocamos tudo na integral original.
Passo 3
Reescrevendo a integral em
: substituindo
,
e
, obtemos
Expandimos
:
Multiplicando por
termo a termo:
Portanto a integral fica
Passo 4
Integração termo a termo usando a regra da potência: a regra é
ou seja somamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente.
Aplicamos para cada termo:
- Para
: aqui , então
- Para
: o coeficiente sai da integral e com temos
- Para
: com ,
Somando os resultados e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva em função de
:
Passo 5
Voltando à variável original
usando
: substituímos
por
em cada termo. Assim a primitiva procurada é
Se quiser, dá para checar diferenciando esse resultado: usando a regra da cadeia cada termo produzirá potências que somam e reduzem exatamente para
. Vai dar certo — confia, você seguiu todos os passos corretos.