Integração por substituição
\int \operatorname{sec} 2 t \operatorname{tg} 2 t^{2} d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}(2t)\,\tan^{2}(2t)\,dt.
A tarefa é encontrar uma antiderivada (função cuja derivada é o integrando). Não há limites de integração, então teremos uma constante de integração C no final.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica muito útil que vamos usar é
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x,
ou seja
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Explicando rapidamente: essa identidade vem da relação pitagórica entre seno e cosseno dividida por \cos^{2}x. Vai servir para transformar \tan^{2} em expressões com \operatorname{sec}^{2}, que têm derivadas simples.

Passo 3

Usando a identidade, rewrite o integrando:
\operatorname{sec}(2t)\,\tan^{2}(2t)=\operatorname{sec}(2t)\big(\operatorname{sec}^{2}(2t)-1\big)=\operatorname{sec}^{3}(2t)-\operatorname{sec}(2t).
Portanto a integral vira
\int \operatorname{sec}(2t)\,\tan^{2}(2t)\,dt=\int\big(\operatorname{sec}^{3}(2t)-\operatorname{sec}(2t)\big)\,dt.

Passo 4

Fazer a mudança de variável simples u=2t para eliminar o argumento composto. Então du=2\,dt, isto é dt=\dfrac{du}{2}. Substituindo:
\int\big(\operatorname{sec}^{3}(2t)-\operatorname{sec}(2t)\big)\,dt=\frac{1}{2}\int\big(\operatorname{sec}^{3}u-\operatorname{sec} u\big)\,du.
Agora o problema é calcular \int\operatorname{sec}^{3}u\,du e \int\operatorname{sec} u\,du.

Passo 5

A integral de \operatorname{sec} u é padrão:
\int \operatorname{sec} u\,du=\ln\!\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|+C.
Vou derivar \int\operatorname{sec}^{3}u\,du por partes (método: separar um fator \operatorname{sec} u e deixar \operatorname{sec}^{2}u para usar a derivada de \tan u). Seja
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\int \operatorname{sec} u\cdot\operatorname{sec}^{2}u\,du.
Escolhe-se w=\operatorname{sec} u e dv=\operatorname{sec}^{2}u\,du. Então dw=\operatorname{sec} u\tan u\,du e v=\tan u. Aplicando integração por partes \int w\,dv = wv-\int v\,dw:
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\operatorname{sec} u\tan u-\int \tan u\cdot(\operatorname{sec} u\tan u)\,du.
No segundo termo, \tan u\cdot(\operatorname{sec} u\tan u)=\operatorname{sec} u\tan^{2}u=\operatorname{sec} u(\operatorname{sec}^{2}u-1) usando a identidade do Passo 2. Assim
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\operatorname{sec} u\tan u-\int \big(\operatorname{sec}^{3}u-\operatorname{sec} u\big)\,du.
Distribuindo o sinal:
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\operatorname{sec} u\tan u-\int \operatorname{sec}^{3}u\,du+\int \operatorname{sec} u\,du.
Agora somamos \int \operatorname{sec}^{3}u\,du aos dois lados:
2\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\operatorname{sec} u\tan u+\int \operatorname{sec} u\,du.
Logo
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\frac{1}{2}\operatorname{sec} u\tan u+\frac{1}{2}\int \operatorname{sec} u\,du.
Substituindo a primitiva de \operatorname{sec} u (já dada acima):
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du=\frac{1}{2}\operatorname{sec} u\tan u+\frac{1}{2}\ln\!\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|+C.

Passo 6

Voltar à integral que temos em u:
\frac{1}{2}\int\big(\operatorname{sec}^{3}u-\operatorname{sec} u\big)\,du =\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{3}u\,du-\frac{1}{2}\int \operatorname{sec} u\,du.
Substituindo a expressão de \int\operatorname{sec}^{3}u\,du do Passo 5 e simplificando:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\operatorname{sec} u\tan u+\frac{1}{2}\ln\!\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|\right)-\frac{1}{2}\ln\!\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|+C.
Calcule os coeficientes do logaritmo: \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}. E o primeiro termo fica \dfrac{1}{4}\operatorname{sec} u\tan u. Portanto
\frac{1}{2}\int\big(\operatorname{sec}^{3}u-\operatorname{sec} u\big)\,du=\frac{1}{4}\operatorname{sec} u\tan u-\frac{1}{4}\ln\!\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|+C.

Passo 7

Re-substituir u=2t. Assim a antiderivada da integral original é
\boxed{\;\frac{1}{4}\operatorname{sec}(2t)\tan(2t)-\frac{1}{4}\ln\!\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|+C\;}.

Resposta

\dfrac{1}{4}\operatorname{sec}(2t)\tan(2t)-\dfrac{1}{4}\ln\!\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|+C

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