Integração por substituição \int \operatorname{sec} 2 t \operatorname{tg} 2 t^{2} d t
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}(2t)\,\tan^{2}(2t)\,dt.
A tarefa é encontrar uma antiderivada (função cuja derivada é o integrando). Não há limites de integração, então teremos uma constante de integração C no final.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica muito útil que vamos usar é
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x,
ou seja
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Explicando rapidamente: essa identidade vem da relação pitagórica entre seno e cosseno dividida por \cos^{2}x. Vai servir para transformar \tan^{2} em expressões com \operatorname{sec}^{2}, que têm derivadas simples.
Vou derivar \int\operatorname{sec}^{3}u\,du por partes (método: separar um fator \operatorname{sec} u e deixar \operatorname{sec}^{2}u para usar a derivada de \tan u). Seja
Escolhe-se w=\operatorname{sec} u e dv=\operatorname{sec}^{2}u\,du. Então dw=\operatorname{sec} u\tan u\,du e v=\tan u. Aplicando integração por partes \int w\,dv = wv-\int v\,dw:
No segundo termo, \tan u\cdot(\operatorname{sec} u\tan u)=\operatorname{sec} u\tan^{2}u=\operatorname{sec} u(\operatorname{sec}^{2}u-1) usando a identidade do Passo 2. Assim
Calcule os coeficientes do logaritmo: \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}. E o primeiro termo fica \dfrac{1}{4}\operatorname{sec} u\tan u. Portanto