Teorema Fundamental do Cálculo
12. \int_{0}^{\pi / 3} 4 \operatorname{sec} u \operatorname{tg} u d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/3} 4\,\operatorname{sec} u\,\tan u\,du.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é 4\operatorname{sec} u\tan u.
  • A variável de integração é u.
  • Os limites de integração são u=0 (inferior) e u=\pi/3 (superior).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): para calcular uma integral definida normalmente buscamos uma primitiva F(u) tal que F'(u) seja a função integranda; depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e calculamos F(\pi/3)-F(0).
Aqui devemos reconhecer uma derivada conhecida: a derivada de \operatorname{sec} u é \operatorname{sec} u\tan u. Vou mostrar por que, passo a passo, para você poder usar isso com segurança na prova.

Passo 3

Cálculo da derivada de \operatorname{sec} u (prova rápida):
\operatorname{sec} u=(\cos u)^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia e a derivada de \cos u (que é -\sin u), obtém-se
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u = \frac{d}{du}(\cos u)^{-1} = -1\cdot(\cos u)^{-2}\cdot(-\sin u)=\frac{\sin u}{\cos^2 u}.
Agora escrevendo \dfrac{\sin u}{\cos^2 u} como \dfrac{1}{\cos u}\cdot\dfrac{\sin u}{\cos u}
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u = \operatorname{sec} u\cdot\tan u.
Portanto confirmamos que \dfrac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\tan u.

Passo 4

Encontrar a primitiva da integranda: como \dfrac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\tan u, segue que uma primitiva de \operatorname{sec} u\tan u é \operatorname{sec} u. Multiplicando por 4, uma primitiva de 4\operatorname{sec} u\tan u é 4\operatorname{sec} u. Ou seja, podemos tomar
F(u)=4\operatorname{sec} u,
pois
F'(u)=4\cdot\frac{d}{du}\operatorname{sec} u=4\operatorname{sec} u\tan u.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
\int_{0}^{\pi/3}4\operatorname{sec} u\tan u\,du = \bigl[F(u)\bigr]_{0}^{\pi/3}=F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-F(0).
Substituindo F(u)=4\operatorname{sec} u,
\bigl[F(u)\bigr]_{0}^{\pi/3}=4\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-4\operatorname{sec}(0).
Agora usamos valores trigonométricos básicos: \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2} logo \operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2; e \cos 0=1 logo \operatorname{sec} 0=1. Assim
4\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-4\operatorname{sec}(0)=4\cdot 2 - 4\cdot 1 = 8-4=4.

Passo 6

Verificação rápida de coerência: a integranda 4\operatorname{sec} u\tan u é não negativa no intervalo [0,\pi/3] (porque \operatorname{sec} u e \tan u são não negativas ali), então esperar um resultado positivo faz sentido; o valor 4 é compatível com isso. Também podemos derivar 4\operatorname{sec} u e ver que volta a integranda, confirmando a primitiva.

Resposta

4

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