Teorema Fundamental do Cálculo
12.
12.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): para calcular uma integral definida normalmente buscamos uma primitiva
tal que
seja a função integranda; depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e calculamos
.
Aqui devemos reconhecer uma derivada conhecida: a derivada de
é
. Vou mostrar por que, passo a passo, para você poder usar isso com segurança na prova.
Passo 3
Cálculo da derivada de
(prova rápida):
Aplicando a regra da cadeia e a derivada de
(que é
), obtém-se
Agora escrevendo
como
dá
Portanto confirmamos que
.
Passo 4
Encontrar a primitiva da integranda: como
, segue que uma primitiva de
é
. Multiplicando por
, uma primitiva de
é
. Ou seja, podemos tomar
pois
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
Substituindo
,
Agora usamos valores trigonométricos básicos:
logo
; e
logo
. Assim
Passo 6
Verificação rápida de coerência: a integranda
é não negativa no intervalo
(porque
e
são não negativas ali), então esperar um resultado positivo faz sentido; o valor
é compatível com isso. Também podemos derivar
e ver que volta a integranda, confirmando a primitiva.