Integração por substituição
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede calcular a integral indefinida
- Informação útil: a expressão contém
no denominador e aparece elevado a um expoente. Isso sugere uma substituição que elimine a raiz e torne a função uma potência simples de uma expressão linear.
Passo 2
Escolha da substituição (motivo e definição).
- Motivo: sempre que aparece
junto com , é comum usar para transformar a integral em uma função simples de . - Definir a substituição:
- Explicação curta: com essa escolha,
vira , e a raiz no denominador pode cancelar com o diferencial que vamos obter.
Passo 3
Expressar
e
em função de
.
- Como
, temos . - Diferenciando em relação a
obtemos . - Observação didática sobre derivada: derivada de
é , por isso o aparece no .
Passo 4
Substituir na integral e simplificar a expressão.
- Substituir
e na integral original. - A integral fica:
- Simplificando o fator
que cancela:
Passo 5
Lembrar a regra de potência para integrar (fórmula e significado).
- Fórmula geral: para
,
- Aqui
é uma função qualquer da variável de integração e é um número real; a fórmula diz que aumentar o expoente em e dividir pelo novo expoente é a antiderivada. - No nosso caso,
e . Note que , então a fórmula vale.
Passo 6
Aplicar a regra de potência à integral em
.
- Calcular
- Simplificar o expoente e o denominador:
- Simplificar o fator
dividido por :
- Logo a integral em
é
Passo 7
Voltar para a variável original
e escrever a resposta final; verificar rapidamente por derivação.
- Substituir
de volta:
- Verificação rápida (controle): derivando
usando a regra da cadeia obtém-se
o que é exatamente o integrando original. Isso confirma que a antiderivada está correta.