Integração por substituição
\int \frac{(1+\sqrt{x})^{1 / 3}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede calcular a integral indefinida
\int \frac{(1+\sqrt{x})^{1/3}}{\sqrt{x}}\,dx.
  • Informação útil: a expressão contém \sqrt{x} no denominador e aparece 1+\sqrt{x} elevado a um expoente. Isso sugere uma substituição que elimine a raiz e torne a função uma potência simples de uma expressão linear.

Passo 2

Escolha da substituição (motivo e definição).
  • Motivo: sempre que aparece \sqrt{x} junto com 1+\sqrt{x}, é comum usar t=\sqrt{x} para transformar a integral em uma função simples de t.
  • Definir a substituição:
t=\sqrt{x}.
  • Explicação curta: com essa escolha, 1+\sqrt{x} vira 1+t, e a raiz no denominador pode cancelar com o diferencial que vamos obter.

Passo 3

Expressar x e dx em função de t.
  • Como t=\sqrt{x}, temos x=t^{2}.
  • Diferenciando em relação a t obtemos dx = 2t\,dt.
  • Observação didática sobre derivada: derivada de t^{2} é 2t, por isso o 2t aparece no dx.

Passo 4

Substituir na integral e simplificar a expressão.
  • Substituir \sqrt{x}=t e dx=2t\,dt na integral original.
  • A integral fica:
\int \frac{(1+\sqrt{x})^{1/3}}{\sqrt{x}}\,dx = \int \frac{(1+t)^{1/3}}{t}\cdot (2t\,dt).
  • Simplificando o fator t que cancela:
\int \frac{(1+t)^{1/3}}{t}\cdot (2t\,dt) = 2\int (1+t)^{1/3}\,dt.

Passo 5

Lembrar a regra de potência para integrar (fórmula e significado).
  • Fórmula geral: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui u é uma função qualquer da variável de integração e n é um número real; a fórmula diz que aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente é a antiderivada.
  • No nosso caso, u=1+t e n=\tfrac{1}{3}. Note que \,n\neq -1, então a fórmula vale.

Passo 6

Aplicar a regra de potência à integral em t.
  • Calcular
2\int (1+t)^{1/3}\,dt = 2\cdot\frac{(1+t)^{1/3+1}}{1/3+1}+C.
  • Simplificar o expoente e o denominador:
1/3+1 = 4/3.
2\cdot\frac{(1+t)^{4/3}}{4/3}+C.
  • Simplificar o fator 2 dividido por 4/3:
2\cdot\frac{1}{4/3} = 2\cdot\frac{3}{4} = \frac{3}{2}.
  • Logo a integral em t é
\frac{3}{2}(1+t)^{4/3}+C.

Passo 7

Voltar para a variável original x e escrever a resposta final; verificar rapidamente por derivação.
  • Substituir t=\sqrt{x} de volta:
\frac{3}{2}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)^{4/3}+C.
  • Verificação rápida (controle): derivando \frac{3}{2}(1+\sqrt{x})^{4/3} usando a regra da cadeia obtém-se
\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}(1+\sqrt{x})^{1/3}\cdot\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = 2(1+\sqrt{x})^{1/3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{(1+\sqrt{x})^{1/3}}{\sqrt{x}},
o que é exatamente o integrando original. Isso confirma que a antiderivada está correta.

Resposta

\dfrac{3}{2}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)^{4/3}+C

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