Integração por substituição
\int 7 \sqrt{7 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo (integrar em relação a x):
\int 7 \sqrt{7 x-1}\, dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integranda é 7\sqrt{7x-1}.
  • A variável de integração é x.
  • A raiz quadrada exige 7x-1\ge 0, isto é, x\ge \tfrac{1}{7} (isso é só para saber onde a expressão está real; a primitiva valdrá em qualquer intervalo onde a função seja contínua).

Passo 2

Reescrevo a integranda numa forma mais conveniente para manipular potências:
7\sqrt{7x-1}=7(7x-1)^{1/2}.
Explicação curta: \sqrt{\,\cdot\,} equivale a elevar à potência 1/2, então fica mais fácil aplicar regras de potência e substituição.

Passo 3

Faço a substituição típica para eliminar a expressão composta (7x-1). Defino a nova variável
u = 7x-1.
Agora calculo a diferencial correspondente:
du = 7\,dx.
Isto vem da regra de derivação: a derivada de 7x-1 em relação a x é 7, logo du=7\,dx.

Passo 4

Isolo dx em termos de du:
dx=\frac{du}{7}.
Substituo u e dx na integral original. Lembre que peguei u=7x-1 e dx=du/7. Assim:
\int 7(7x-1)^{1/2}\,dx = \int 7\,u^{1/2}\cdot\frac{du}{7}.
Os fatores 7 cancelam:
\int 7\,u^{1/2}\cdot\frac{du}{7} = \int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Integro usando a regra da potência para integrais indefinidas. Regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Aplicando:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+C = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C.
Simplificando a divisão por 3/2 (ou seja, multiplicando por 2/3):
\frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.

Passo 6

Volto à variável original x substituindo u=7x-1:
\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{2}{3}(7x-1)^{3/2}+C.
Esse é o resultado final da integral indefinida.

Passo 7

Verificação rápida (derivação da primitiva dá a integranda): calculo a derivada de \dfrac{2}{3}(7x-1)^{3/2}.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}(7x-1)^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}(7x-1)^{1/2}\cdot 7 =7(7x-1)^{1/2},
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{2}{3}(7x-1)^{3/2}+C

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