Integração por substituição
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo (integrar em relação a
):
Informações dadas e observações iniciais:
- A integranda é
. - A variável de integração é
. - A raiz quadrada exige
, isto é, (isso é só para saber onde a expressão está real; a primitiva valdrá em qualquer intervalo onde a função seja contínua).
Passo 2
Reescrevo a integranda numa forma mais conveniente para manipular potências:
Explicação curta:
equivale a elevar à potência
, então fica mais fácil aplicar regras de potência e substituição.
Passo 3
Faço a substituição típica para eliminar a expressão composta
. Defino a nova variável
Agora calculo a diferencial correspondente:
Isto vem da regra de derivação: a derivada de
em relação a
é
, logo
.
Passo 4
Isolo
em termos de
:
Substituo
e
na integral original. Lembre que peguei
e
. Assim:
Os fatores
cancelam:
Passo 5
Integro usando a regra da potência para integrais indefinidas. Regra da potência: para
,
Aqui
. Aplicando:
Simplificando a divisão por
(ou seja, multiplicando por
):
Passo 6
Volto à variável original
substituindo
:
Esse é o resultado final da integral indefinida.
Passo 7
Verificação rápida (derivação da primitiva dá a integranda): calculo a derivada de
.
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.