Qual das integrais abaixo corresponde ao volume do sólido entre duas esferas concêntricas de raios a e b satisfazendo a ?
(a) integral0^2 pi integral0^pi integral0^b-a rho^2 sen phi d rho d phi d theta
(b) integral0^2 pi integral0^2 pi integrala^b rho^2 sen phi d rho d phi d theta
© integral0^2 pi integral0^pi integrala^b rho^2 cos phi d rho d phi d theta
(d) integral0^2 pi integral0^pi integrala^b rho sen^2 phi d rho d phi d theta
(E) NRA

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar qual das integrais apresentadas representa o volume de um sólido formado entre duas esferas concêntricas com raios e , onde . Para resolver isso, vamos usar o conceito de coordernadas esféricas, que é uma forma de descrever pontos no espaço usando três parâmetros: o raio ( ), o ângulo polar ( ) e o ângulo azimutal ( ).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o volume entre duas esferas usando coordenadas esféricas. A integral tripla para o volume de uma esfera em coordenadas esféricas é dada por:
V = integral0^2pi integral0^pi integral0^R rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Aqui, é o raio da esfera. Para encontrar o volume entre duas esferas de raios e , com , ajustamos os limites de de a .

Passo 3

Vamos analisar cada opção apresentada no exercício para ver qual delas corresponde à integral correta para o volume entre as duas esferas:
  • Opção (a):
    integral0^2 pi integral0^pi integral0^b-a rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
    O limite de integral0^2 pi integral0^2 pi integrala^b rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta vai de integral0^2 pi integral0^pi integrala^b rho^2 cos phi , drho , dphi , dtheta a integral0^2 pi integral0^pi integrala^b rho sin^2 phi , drho , dphi , dtheta , o que está incorreto, pois deveria ir de a .
  • Opção (b):
    O problema aqui é que o limite para vai de a , mas em coordenadas esféricas, deve ir de a .
  • Opção ©:
    Aqui, a função está sendo usada em vez de , o que está errado para calcular volumes em coordenadas esféricas.
  • Opção (d):
    Nesta opção, a expressão não está correta para representar o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Resposta

(E) NRA
Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde corretamente à integral que calcula o volume entre duas esferas concêntricas de raios e .

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