Qual das integrais abaixo corresponde ao volume do sólido entre duas esferas concêntricas de raios
e
satisfazendo
?
(a)
(b)
©
(d)
(E) NRA
(a)
(b)
©
(d)
(E) NRA
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar qual das integrais apresentadas representa o volume de um sólido formado entre duas esferas concêntricas com raios
e
, onde
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de coordernadas esféricas, que é uma forma de descrever pontos no espaço usando três parâmetros: o raio (
), o ângulo polar (
) e o ângulo azimutal (
).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o volume entre duas esferas usando coordenadas esféricas. A integral tripla para o volume de uma esfera em coordenadas esféricas é dada por:
Aqui,
é o raio da esfera. Para encontrar o volume entre duas esferas de raios
e
, com
, ajustamos os limites de
de
a
.
Passo 3
Vamos analisar cada opção apresentada no exercício para ver qual delas corresponde à integral correta para o volume entre as duas esferas:
-
Opção (a):O limite de
vai de a , o que está incorreto, pois deveria ir de a . -
Opção (b):O problema aqui é que o limite para
vai de a , mas em coordenadas esféricas, deve ir de a . -
Opção ©:Aqui, a função
está sendo usada em vez de , o que está errado para calcular volumes em coordenadas esféricas. -
Opção (d):Nesta opção, a expressão
não está correta para representar o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Resposta
(E) NRA
Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde corretamente à integral que calcula o volume entre duas esferas concêntricas de raios
e
.