Qual o valor de
?
(a)
(B)
©
(d)
(e) NRA
(a)
(B)
©
(d)
(e) NRA
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região definida por
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com integrais sobre círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As limitações de
em função de
indicam que estamos lidando com um círculo de raio 1 centrado na origem. Isso é porque
varia de
a
, que é a equação de um círculo.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo com o eixo positivo de
. A área diferencial em coordenadas polares é
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Aqui,
varia de 0 a 1 (raio do círculo) e
varia de 0 a
(uma volta completa).
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Fazendo a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Resposta
A resposta correta é a opção (B)
.