Qual o valor de integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 e^-(x^2+y^2) d y d x ?
(a) pie
(B) pi-pie
© pi2 e
(d) 2 pi-pi2 e
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região definida por e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com integrais sobre círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As limitações de em função de indicam que estamos lidando com um círculo de raio 1 centrado na origem. Isso é porque varia de a , que é a equação de um círculo.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo com o eixo positivo de . A área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 e^-(x^2+y^2) , dy , dx = integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, varia de 0 a 1 (raio do círculo) e varia de 0 a (uma volta completa).

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr :
-12 integral0^-1 e^u , du = 12 integral-1^0 e^u , du = 12 [ e^u ]-1^0 = 12 (1 - e^-1)
Fazendo a substituição , então ou . A integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^2pi 12 (1 - e^-1) , dtheta = 12 (1 - e^-1) cdot 2pi = pi (1 - 1e) = pi - pie

Resposta

A resposta correta é a opção (B) .

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