Seja G o sólido delimitado pelas superfícies z=4 x^2+y^2 e z=4-3 y^2 conforme a figura ao lado. Qual das integrais abaixo representa o volume de G ?
(A) integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral4 x^2+y^2^4-3 y^2 d z d y d x
(b) integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral4-3 y^2^4 x^2+y^2 d z d y d x
© integral-1^1 integral-raiz1-4 x^2^raiz1-4 x^2 integral0^4-3 y^2 d z d y d x
(d) integral-1^1 integral-raiz1-4 x^2^raiz1-4 x^2 integral4 x^2+y^2^4-3 x^2 d z d y d x
(e) NRA

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos encontrar qual das integrais apresentadas representa o volume do sólido delimitado pelas superfícies e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a região de integração no plano 4x^2 + y^2 = 4 - 3y^2 . Para isso, igualamos as duas equações das superfícies:
4x^2 + y^2 + 3y^2 = 4 4x^2 + 4y^2 = 4 x^2 + y^2 = 1
Resolvendo a equação:
Isso representa um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Agora, determinamos os limites de integração para e . Como a região é um círculo de raio 1:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .

Passo 4

Em seguida, determinamos os limites de . Para cada ponto na região, varia entre as duas superfícies:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla que representa o volume do sólido integral-1^1 integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 integral4x^2 + y^2^4 - 3y^2 dz , dy , dx :

Resposta

A integral que representa o volume de integral-1^1 integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 integral4x^2 + y^2^4 - 3y^2 dz , dy , dx é a opção (A):

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